高数下

高数下知识大纲，包括重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数、多元函数微分法及其应用、向量代数与空间解析几何等。

高数下

• 重积分
  • 二重积分的概念与性质
    • 二重积分的概念
      • , D为积分区域，f(x, y)为被积函数，dσ为面积元素
    • 二重积分的性质
      • 和差的积分等于积分的和差
      • 积分的区域可加性：
      • 如果在D上，f(x,y)=1,σ为D的面积，那么：
      • 如果在D上，f(x,y)≤g(x,y),那么有：
      • 设M和m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则有：
      • 二重积分的中值定理：设函数f(x,y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得：
  • 二重积分的计算
    • 利用直角坐标计算二重积分
    • 利用极坐标计算二重积分
    • 二重积分的换元法
  • 三重积分
    • 三重积分的概念
    • 三重积分的计算
      • 直角坐标
        • 投影法：
        • 截面法：适用范围（积分区域表面用柱面表示、方程简单时；被积函数用柱面坐标表示时变量相互分离）
      • 球坐标：
  • 重积分的应用
    • 曲面的面积
      • A=
    • 质心
    • 转动惯量
    • 引力
      • ，Fy、Fz 类推
  • 含参变量的积分
• 曲线积分与曲面积分
  • 对弧长的曲线积分
    • 对弧长的曲线积分的概念与性质
    • 对弧长的曲线积分的算法
      • 第一类曲线积分
  • 对坐标的曲线积分
    • 对坐标的曲线积分的概念与性质
    • 对坐标的曲线积分的算法
      • 第二形曲线积分(带了方向）
    • 两类曲线积分之间的联系
  • 格林公式及其应用
    • 格林公式
      • 设闭区域D由分段光滑曲线L围成，若函数 P(x,y) 及 Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有（其中 L 是 D 取正向的边界曲线）：
    • 平面上曲线积分与路径无关的条件
      • 设区域 G 是一个单连通域，若函数 P(x,y) 与 Q(x,y) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分∫L Pdx + Qdy在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为0）的充分必要条件是：
    • 二元函数的全微分求积
    • 曲面积分的基本定理
  • 对面积的曲面积分
    • 对面积的曲面积分的概念与性质
    • 对面积的曲面积分的计算法
      • （前提 z=z(x,y) 即往xoy面做投影，往yoz和zox面做投影的类推）
  • 对坐标的曲面积分
    • 对坐标曲面积分的概念与性质
    • 对坐标的曲面积分的计算法
      • （取上、前、右为正）
    • 两类曲面积分之间的联系
      • dydz=dScosα ; dzdx=dScosβ ; dzdy=dScosγ
  • 高斯公式、通量与散度
    • 高斯公式
      • （Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、cosγ是Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦）
    • 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
    • 通量与散度
  • 斯托克斯公式、环流量与旋度
    • 斯托克斯公式
      • (Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与Σ的侧符合右手规则)
    • 空间曲线积分与路径无关的条件
    • 环流量与旋度
• 无穷级数
  • 常数项级数的概念与性质
    • 常数项级数的概念
      • 定义：
    • 收敛级数的基本性质
      • 级数的每一项同乘一个不为零的常数后，其敛散性不变
      • （一个级数收敛，一个级数发散，和差一定发散； 两个级数都发散，和差不一定发散）
      • 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性
      • 如果级数收敛，那么对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变（推论：如果加括号后所成的级数收敛，那么不能断定取括号后原来的级数也收敛； 如果加括号后所称的级数发散，那么原来级数也发散）
      • 如果级数收敛，则它的一般项趋于零（推论：如果级数的一般项不趋于零，那么该级数必定发散 ； 有些级数虽然一般项趋于零，但仍是发散的，如调和级数 ）
    • 柯西审敛原理
  • 常数项级数的审敛法
    • 正项级数及其审敛法
    • 交错级数及其审敛法
    • 绝对收敛与条件收敛
    • 绝对收敛级数的性质
  • 幂级数
    • 函数项级数的概念
      • 收敛半径：R ； 收敛区间（-R , R）
      • 收敛域：判定 x = ±R时级数是否收敛
    • 幂级数及其收敛性
      • 阿贝尔（Abel）定理：如果幂级数当x=x0(x0≠0）时收敛，那么适合不等式|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛。反之，如果幂级数当x=x0时发散，那么适合不等式|x|>|x0|的一切x使这幂级数发散。
      • • 0<ρ<+∞，R=1/ρ
        • ρ=0，R=+∞
        • ρ=+∞，R=0
    • 幂级数的运算
      • 幂级数和函数在其收敛域I上连续
      • 幂级数和函数在其收敛域I上可积，可逐项积分，逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
      • 幂级数和函数在其收敛区间（-R,R）内可导，可逐项求导，求导后所得幂级数和原级数有相同的收敛半径
  • 函数展开成幂级数
    • 直接展开法
    • 间接展开法
    • 常用公式
  • 函数的幂级数展开式的应用
    • 近似计算
    • 微分方程的幂级数解法
    • 欧拉公式
  • 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
    • 函数项级数的一致收敛性
    • 一直收敛级数的基本性质
  • 傅里叶级数
    • 三角级数、三角函数系的正交性
    • 函数展开成傅里叶级数
      • f(x)是周期为2Π的周期函数，则展开成三角级数为：
      • 收敛定理，迪利克雷(Dirichlet)充分条件：设f(x)是周期为2Π的周期函数，如果它满足：(1）在一个周期内连续或只有有限第一类间断点（可去、跳跃） (2)在一个周期内至多只有有限个极点， 那么傅里叶级数收敛，并且当 x 是 f(x)的连续点时，级数收敛于 f(x)(级数的部分和）; 当x是f(x)的间断点，级数收敛于该点左右极限的平均值
    • 正项级数和余弦级数
      • 正弦级数：当f(x)为奇函数时, f(x)cosnx 是奇函数，f(x)sinnx是偶函数，故：
      • 余弦级数：当f(x)为偶函数时, f(x)cosnx 是偶函数，f(x)sinnx是奇函数，故：
  • 一般周期函数的傅里叶级数
    • 周期为2L的的周期函数的傅里叶级数
      • 设周期为2L的函数f(x)的周期满足收敛定理的条件，则他的傅里叶级数展开式为：
    • 傅里叶级数的复数形式
• 多元函数微分法及其应用
  • 多元函数的基本概念
    • 平面点集、n维空间
      • 内点
      • 外点
      • 边界点
      • 聚点
    • 多元函数的概念
    • 多元函数的极限
    • 多元函数的连续性
      • 有界性与最大值最小值定理：在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值
      • 介值定理：在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值
  • 偏导数
    • 偏导数的定义及其算法
    • 高阶偏导数
      • 如果函数 z=f(x,y) 的两个二阶混合
  • 全微分
    • 全微分的定义
    • 全微分在近似计算中的应用
  • 多元复合函数的求导法则
  • 隐函数的求导公式
    • 一个方程的情形
      • 隐函数存在定理1：设函数 F(x,y) 在点P(x0,y0)的某一领域内具有连续偏导数，且F(x0,y0)=0，Fy(x0,y0)≠0，则方程 F(x,y)=0 在点(x0,y0)的某一领域内恒能确定一个连续且具有连续导数的函数 y=f(x)，它满足条件y0=f(x0),并有
      • 隐函数存在定理2：设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一领域内具有连续偏导数，且F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)≠0，则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足条件z0=f(x0,y0),并有
    • 方程组的情形
      • 雅可比行列式P89
  • 多元函数微分学的几何应用
    • 一元向量值函数及其导数
    • 空间曲线的切线与法平面
      • 切线方程：
      • 法平面方程：
    • 曲面的切平面与法线
      • 法线方程：
      • 切平面方程：
  • 方向导数与梯度
    • 方向导数
      • 定义：如果函数f(x,y)在点P(x0,y0)可微分，那么函数在该点沿任意方向L的方向导数存在，且有
    • 梯度
  • 多元函数的极值求法
    • 多元函数的极值及最大值与最小值
      • 必要条件：设函数 z=f(x,y) 在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则有
      • 充分条件：设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导，又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令 fxx(x0,y0)=A,fyy(x0,y0)=B,fzz(x0,y0)=C,则f(x,y)在（x0,y0)处是否取得极值的条件如下：
    • 条件极值、拉格朗日乘数法
  • 二元函数的泰勒公式
    • 二元函数的泰勒公式
    • 极值充分条件的证明
  • 最小二乘法
• 向量代数与空间解析几何
  • 向量及其线性运算
    • 向量的概念
      • 零向量方向任意
      • 两向量夹角为0或Π，则两向量平行；夹角为Π/2，两向量垂直
      • 两向量平行又称两向量共线
    • 向量的线性运算
      • 一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量
    • 空间直角坐标系
    • 利用坐标做向量的线性运算
    • 向量的模、方向角、投影
  • 数量积、向量积、混合积
    • 两向量的数量积
      • a · b=|a| |b|cosθ（θ为两向量夹角）=|a|
      • 向量a⊥b的充分必要条件是a·b=0
    • 两向量的向量积
      • a×b=|a|·|b|·sinθ
      • 向量积不符合交换律，a×b=－b×a
    • 向量的混合积
  • 平面及其方程
    • 曲面方程与空间曲线方程的概念
    • 平面的点法式方程
    • 平面的一般方程
    • 两平面的夹角
  • 空间直线及其方程
    • 空间直线的一般方程
    • 空间直线的对称式方程与参数方程
    • 两直线的夹角
    • 直线与平面的夹角
    • 杂例
  • 曲面及其方程
    • 曲面研究的基本问题
    • 旋转曲面
    • 柱面
    • 二次曲面
  • 空间曲线及其方程
    • 空间曲线的一般方程
    • 空间曲线的参数方程
    • 空间曲线在坐标面上的投影
• 平面和直线方程
• 几种常见曲面
• 绝对收敛和条件收敛
• 正项级数及其审敛法
• 几类常见级数的敛散性
• 奇倍偶零（适用于第二型曲线、曲面积分）：若积分区域关于某个变量对称，且被积函数是该变量的奇函数或偶函数，则该积分满足奇倍偶零
• 偶倍奇零（适用于定积分、二重积分、三重积分、第一形曲线积分、第一型曲面积分）：如果积分区域关于某个变量对称，且被积函数是关于这个变量的奇函数或偶函数，则满足偶倍奇零）