第三章向量组与向量空间

第三章向量组与向量空间的思维导图，线性相关的几个重要定理：向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组线性相关；向量组A可由向量组B线性表示，（B中的向量比A中的多）则向量A必线性相关。

向量组与向量空间

• 向量组及其线性组合
  • 向量组
    • 定义1
      • • 这种叫做列向量
          • 也可写成行向量
            • • 列向量全部用α表示，行向量用
      • • 矩阵A 是一个列向量组
      • • 矩阵A是个行向量组
  • 向量组的线性组合
    • 定义2
    • • 这种称作n维基本单位向量组，任一n维向量α都可用它表示
        • n维基本单位向量组可以构成无穷多个n维向量
    • 定理1
      • 当R（A）=R（B）时，向量β可由向量组A线性表示，且当两个都满秩的时候，只有唯一的线性表示式。
        • 秩为多少，有效向量就有多少
      • 例题
• 向量组的线性相关性
  • 线性相关性及其判别法
    • 定义1
    • 定理1
      • （1）矩阵A的秩不是满秩，则组成矩阵A的向量线性相关。
        • 习题3.2（1）
      • （2）矩阵A为满秩，则线性无关
      • 推论：线性无关|A|≠0，线性相关|A|=0
    • 四个命题
      • （1）坐标单位向量组线性无关
      • （2）一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关
        • 前面α=0，后面λ=0
      • （3）含有零向量的向量组必线性相关
        • 因为线性相关的式子最后等于零，所以零向量的λ不为零，要不然无意义
      • （4）如果向量组所含向量的个数大于向量组中向量的维数，则该向量组线性相关
        • 意思就是不满秩
    • 定理2
      • 向量组中有一部分向量组线性相关，则整个向量组线性相关
        • 增加向量个数的情形
      • 推论
        • 线性无关的向量组中的任一部分必线性无关
          • 减少向量个数的情形
    • 定理3
      • m维向量组线性无关，再加几维（加几行），也线性无关
        • 接长向量组
      • 推论
        • m维向量组线性相关，减几维（减几行），也线性相关
  • 线性相关的几个重要定理
    • 定理4
      • 向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组线性相关
    • 定理5
    • 定理6
      • 向量组A可由向量组B线性表示，（B中的向量比A中的多）则向量A必线性相关
      • 推论
        • 向量A可由向量B线性表示，（B中的向量比A中的少）则向量A线性无关
  • 向量组的等价
    • 定义2
      • 向量组A可由向量组B线性表示，同时向量组B也可由向量组A线性表示，则称向量组A与向量组B等价
      • 推论2 向量组A、B等价，且两向量组都线性无关，则两个向量组的向量数值相等
        • 红字为推论3
    • 性质
      • （1）反身性 A组与A组等价
      • （2）对称性 A与B等价则B与A等价
      • （3）传递性 A与B等价，B与C等价，则A与C等价
    • R(A)=R(A,B)=R(B)证明两个向量组等价
• 向量组的秩
  • 定义1
    • • 极大无关组中所含的向量个数就是向量的秩
    • 定理1
      • （1）向量组与他的极大无关组等价
      • （2）向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相等
    • 定理2
      • 矩阵的秩=矩阵列向量组的秩=矩阵行向量组的秩
    • 推论
    • 定价向量组的秩必相等
      • 推论
  • 求向量组极大无关组和秩的方法
    • 1.将向量组列成矩阵
    • 2.进行矩阵的初等行变换变成行阶矩阵
      • 此处的非零行的数量就是向量组的秩
    • 3。行阶梯形的非零行的第一个非零元素所在的列向量组成极大无关组
    • 例题：
• 向量空间
  • 向量空间的概念
    • 定义1
      • • 对向量的加法和数乘运算封闭的非空向量集合
          • 非空是因为一定有零向量存在里面
      • 如何判断是向量空间
        • 取里面的两个向量进行加减
        • 取里面的一个向量进行相乘
        • 所得向量依旧属于这个向量，则是向量空间
    • 定义2
      • 单独由一个零向量构成的集合{0}也是一个向量空间，成为零空间
  • 基、维数与坐标
    • 定义3
      • 基、维数的概念
        • • 向量空间的维数和该空间中向量的维数是两个不同的概念
            • 例题：
          • 自然基：
          • 证明是所生成的向量空间：1.所给向量线性无关2.满秩（所给的便为一组基）
    • 定义4
      • 坐标的概念