复变函数的积分

此篇思维导图与复变函数的积分有关，其内容包含复变函数积分的概念和性质，柯西积分定理及其应用，解析函数与调和函数的关系以及柯西积分公式和解析函数的高阶导数，其中还含有各部分的数学公式

第三章 复变函数的积分

• 3.1 复变函数积分的概念和性质
  • 定义
    • 可求长度的光滑曲线
    • 无限分，使其max→0
    • 其结果与分法无关，为定值
  • 计算公式
    • 推导
    • 结果
    • 简化计算
      • x=x(t) y=y(t)
        • 参数形式
      • 带入上述计算公式
  • 重要且有用的结论
  • 性质
    • 基本
      • C的反向曲线C-
        • 积分结果相反
      • 任意常数(复数)倍
        • 积分号内，提到积分号外
      • 积分可加性
      • 积分路径光滑分段可积
    • 估值性质
      • L——曲线C的长度
      • |f(z)| <= M
• 3.2 柯西积分定理及其应用
  • 定理
    • 函数在单连通域D内处处解析
    • 沿D内任意一条闭曲线积分
  • 结论
    • 函数在简单闭曲线上及其内部解析
      • 等价于：存在一个处处解析的单连通域，包含简单闭曲线C
  • 应用
    • 变上限积分函数
    • f(z)在单连通域D内处处解析，F(z)也必为D内的解析函数，且其导数为f(z)
    • 牛顿——莱布尼兹公式
    • 复合闭路定理
      • 条件
        • f(z)在多连通域D以及其边界┏上解析
      • 结论
• 3.3 柯西积分公式和解析函数的高阶导数
  • 柯西积分公式
    • 应用条件
      • f(z)在正向简单闭曲线C上及其内部解析，z0为C内部一点
    • 应用结果
    • 推广
      • 解析函数在圆心处的值，等于圆周上的平均值
      • 注意
        • 积分情况下的平均值表示
  • 解析函数的高阶导数
    • 条件
      • C——正向简单闭曲线
      • 函数在其上和内部解析
    • 意义
      • 解析函数拥有各阶导数
      • 函数在D内解析时，其各阶导数都解析
• 3.4 解析函数与调和函数的关系
  • 如果二元函数
  • 子主题