3 一元函数积分学

内容来自于《高等数学》4-6章，补充了一些书中没有的公式和方法，一图让你记住所有公式，考试140

一元函数积分学

• 不定积分
  • 定义: 设F'(x)=f(x), 则称F(x)为f(x)在(a,b)上的一个原函数；f(x)的全体原函数为F(x)+C的形式(C为常数)
  • 性质
    • (∫f(x)dx)'=f(x); d∫f(x)dx=f(x)dx
    • ∫f'(x)dx=f(x)+C; ∫df(x)=f(x)+C
    • ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(k≠0)
    • ∫(af(x)+bg(x))dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx
    • 原函数存在定理: 连续函数一定存在原函数
  • 计算
    • 基本积分公式
    • 凑微分法（第一类换元法）
    • 第二类换元法（R(u,v)表示u,v的有理函数)
      • 三角函数
      • 根式
      • 万能公式
    • 分部积分法
      • • 常用类型
• 定积分
  • 定义`
  • 几何意义: 对于在[a,b]上连续函数f(x), 当f(x)>=0,x∈[a,b],则定积分表示曲线y=f(x)与直线y=0,x=a,x=b所围称的曲边梯形面积；当f(x)<=0,定积分值是位于x轴下方的曲边梯形面积的相反数，对于一般的f(x),定积分值是曲边梯形正、负面积绝对值之和
  • 性质
  • 计算
    • Newton-Leibniz公式
      • 用不定积分找出原函数，并加入上、下限
    • 其他
      • 奇偶性: 设f(x)在[-a,a]上连续
      • 周期
      • 常用公式
  • 反常积分
    • 定义
      • 无穷区间上的反常积分
      • 无界函数的反常积分
    • 对称区间上奇、偶函数反常积分（条件：收敛）
      • 设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续
      • 设函数f(x)在[-a,a]上除x=±c外连续,x=±c为f(x)的奇点(0<=c<=a)
    • 审敛法
      • 基本定理
      • 无穷区间上的反常积分
        • 比较审敛法
        • 极限审敛法
      • 无界函数的反常积分
        • 比较审敛法
        • 极限审敛法
  • 应用
    • 基本方法(设所求量F与区间[a,b]和在区间上的函数f(x)有关)
      • 当f(x)为常数C时，F=C(b-a)
      • 当区间[a,b[分为Δx之和时，F也被分为对应的ΔF之和(F具有可加性)
      • 将f(x)在小区间[x,x+Δx]上视为常量，ΔF=f(x)Δx,即dF=f(x)dx
      • F=∫f(x)dx
    • 几何应用(a<b)
      • 面积
        • 平面图形
          • 直角坐标
          • 极坐标
          • 参数方程
        • 旋转曲面
      • 体积
        • 旋转体
          • 曲线y=f(x)与x=a,x=b,x轴围成的图形
            • 绕x轴旋转一周
            • 绕y轴旋转一周
            • 绕直线x=c旋转一周
            • 绕直线y=d旋转一周
          • 曲线x=g(y)与y=c,y=d,y轴围成的图形
            • 绕x轴旋转一周
            • 绕y轴旋转一周
            • 绕直线x=a旋转一周
            • 绕直线y=b旋转一周
          • 曲线y=f1(x),y=f2(x)与x=a,x=b,围成的图形(f2(x)>=f1(x))
            • 绕x轴旋转一周
            • 绕y轴旋转一周
            • 绕直线x=c旋转一周
            • 绕直线y=d旋转一周
          • 曲线x=g1(y),x=g2(y)与y-c,y=d,围成的图形(g2(y)>=g1(y))
            • 绕x轴旋转一周
            • 绕y轴旋转一周
            • 绕直线x=a旋转一周
            • 绕直线y=b旋转一周
        • 平行截面面积已知的立体
      • 弧长
      • 函数平均值
    • 物理应用
      • 变力做功
      • 液体压力
      • 引力
      • 物体质心