多元函数微分学及其应用

多元函数微分学及其应用：二重极限：p (x,y)以任何方式趋于某点时f(x,y)都无限接近于A、以不同方式趋于某点，f(x,y)趋于不同的值，则函数极限不存在。

多元函数微分学及其应用

• 核心思想
  • 一元函数到二元再到多元的推广
  • 研究二元函数的最主要方法是把它转化成一元函数
  • 某些性质不同，单向和多向
• 基本概念
  • 极限与连续
    • 二重极限
      • p (x,y)以任何方式趋于某点时f(x,y)都无限接近于A
      • 以不同方式趋于某点，f(x,y)趋于不同的值，则函数极限不存在
      • 极限运算和一元函数类似，证不存在，找一个例子就行
    • 连续性
      • 极限存在且等于函数值
      • 一切多元初等函数在其定义域内都连续
      • 有界闭区域上连续函数性质
        • 最值定理
        • 介值定理
        • 函数有界
        • 介值定理的推论
  • 偏导数
    • 求哪个变量的偏导，把其他变量视为常量
    • 本质是一元函数求导
    • 几何意义：曲面与常量平面的交线在该点处对自变量轴的切线斜率
  • 可微性
    • 定义
      • 全增量
      • 二元函数的全增量等于偏增量之和
    • 条件
      • 必要条件：各偏导数均存在
      • 充分条件：z=f(x,y)的各偏导数在点（x,y）连续
    • 应用：近似计算
  • 方向导数
    • z=f(x,y)在（x,y)沿方向l变化快慢
  • 联系
  • 子主题
• 计算
  • 偏导数
    • 一阶
      • 某一连续点处
        • 用定义
        • 先求导再带值
        • 先代值再求导
      • 某一间断点处
        • 用定义求
    • 高阶
      • 用定义求
      • 用求导公式
    • 多元复合函数
      • 链式法则
        • 外层函数可微内层函数可导(中间变量均为一元)
        • 外层函数可微内层函数存在连续偏导数
        • 中间变量既有一元也有多元
      • 高阶求偏导
        • 纯偏导
        • 混合偏导
    • 隐函数
      • 验证存在隐函数的方法
      • 公式法
      • 利用方程两边同时关于某变量求导或求偏导
      • 利用一阶全微分形式的不变性
      • 方程组的隐函数求导
  • 全微分
    • 判断
    • 用定义求偏导再求全微分
    • 一阶全微分形式的不变性
    • 已知du=Pdx+Qdy求u
    • 全微分的几何意义
• 应用
  • 曲线在某点的切向量/法平面
  • 曲面在某点处的法向量/切平面
  • 方向导数与梯度
    • 沿x轴正向的方向导数若存在，一定等于函数在这点处关于x的偏导数
    • 函数可微时方向导数=fx(x，y)cosα十fy(x，y)cosβ
    • 沿梯度方向增加最快(方向导数的最大值等于梯度的模)
  • 全微分的几何意义：切平面上的点的竖坐标的增量
  • 多元函数的极值
    • 无条件极值
      • 用几何意义求极值点
      • 求二元驻点且二阶偏导数连续时
        • AC-B²＞0则取极值，且A>0取极大值，A<0取极小值
        • AC-B²＜0则不取极值
        • AC-B²=0不能判断回归定义或几何意义
    • 有条件极值
      • 把条件代入
      • 拉格朗日乘数法
  • 多元函数的最值
    • 区域内的驻点
    • 边界上的最值点