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考研高等数学初试知识梳理

这是一篇关于考研高等数学知识点梳理的思维导图，主要内容有高等数学一《张宇高等数学18讲》、线性代数、概率论与数理统计。

编辑于2022-06-25 14:31:18

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考研初试知识梳理

数学一

高等数学 1）《张宇高等数学18讲》

高中数学预备知识

函数的概念与特性

函数

反函数

复合函数

四种特性

1、可导偶函数的导函数是奇函数，可导奇函数的导函数是偶函数。 2、周期为T的可导周期函数的导函数也是周期为T的周期函数。 3、连续奇函数的一切原函数都是偶函数，连续偶函数的原函数中只有一个是奇函数（因为奇函数f(0)=0)。 4、若以T为周期的连续周期函数，且在（0，T)的定积分为0，则其一切原函数也以T为周期。 5、若f(x)在(a,b)内可导且导函数有界，则f(x)在(a,b)内有界。

有界性

1、定义域D上的某个区间I内，存在正整数M，使得对任意x属于I都有，则称f(x)在区间I上有界。 2、从几何上看，f(x)在区间I上有界，则其图像在区间I上被y=M和y=-M完全包起来。 3、有界还是无界要先指明是对某个区间来说的。 4、只要在区间I上或其端点处，存在点x0使得f(x)在x0的极限值为无穷大，则函数在这个区间I必无界。

单调性

1、在f(x)的定义域D的一个子区间I内，对任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)则函数f(x)在区间I上单调增加。在f(x)的定义域D的一个子区间I内，对任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)则函数f(x)在区间I上单调减少。 2、判据，对任意x1、x2属于区间D，且x1不等于x2， f(x)是单调增函数等价于 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 f(x)是单调减函数等价于 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 f(x)是单调不减函数等价于 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>=0 f(x)是单调不增函数等价于 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<=0

奇偶性

1、f(x)的定义域关于原点对称，对偶函数有f(x)=f(-x)，对奇函数有f(x)=-f(-x)。偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称。偶函数若在0处导数存在则为0，奇函数若在0处有定义则f(0)=0。 2、y=f(x)与y=f(-x)的图形关于y轴对称； y=f(x)与y=-f(x)的图形关于x轴对称； y=f(x)与y=-f(-x)的图形关于原点对称。 3、y=f(x)的图形关于x=T的充要条件是 f(x)=f(2T-x)或f(x+T)=f(T-x) 4、定义域关于原点对称的函数可以构造成奇函数+偶函数： u(x)=1/2[f(x)+f(-x)]为偶函数，v(x)=1/2[f(x)-f(-x)]是奇函数， f(x)=u(x)+v(x)

周期性

f(x)定义域为D，若对任意x属于D，都有x+T属于D且f(x+T)=f(x),则为周期函数

函数的图像

直角坐标系下的图像

常见图像

基本初等函数与初等函数

1、基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

分段函数

绝对值函数|x|、符号函数sgn(x)，取整函数[x] sgn(0)=0，sgn(0+)=1，sgn(0-)=-1; [0]=0，[0-]=-1，[0+]=0 x-1<[x]<=x

图像变换

平移变换

左加右减，上加下减 f(x)左移x0得到f(x+x0)，f(x)右移x0得到f(x-x0)，f(x)上移x0得到f(x)+x0，f(x)下移x0得到f(x)-x0。

对称变换

f(x)的图像关于x轴对称得到y=-f(x)，y轴对称得到y=f(-x)，原点对称得到y=-f(-x)，关于y=x对称得到y= 保留x轴及其以上部分，把x轴下的部分翻转过来，y=|f(x)| 保留y轴及其右侧部分，把y轴右侧侧部分翻转到左侧，y=f(|x|)

伸缩变换

1、水平伸缩y=f(kx)，横坐标变为原来的1/k倍且纵坐标不变，图像变“瘦”。 2、垂直伸缩y=kf(x)，纵坐标变为原来的k倍且横坐标不变，图像变“高”。

极坐标系下的图像

用描点法画常见的函数图像

心形线

r=a(1-cos(Thea))

玫瑰线

r=a*sin(3*Thea)

阿基米德螺线

r=a*Thea

伯努利双纽线

r^2=(a^2)*cos(2*Thea)

用直角系观点画极坐标系下图像

参数法——参数方程

摆线

当一个圆沿一条定直线做纯滚动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做摆线。 x=r(t-sint)， y=r(1-cost)

星形线

小圆在固定的大圆内部做纯滚动，大圆半径是小圆的四倍，小圆圆周上定点M的轨迹称为星形线。 x=r(cost)^3 y=r(sint)^3

常用的基础知识

数列

等差数列，通项公式、求和公式等比数列，通项公式、求和公式（讨论公比r是否为1）常见数列前n项的和，前n个正整数的平方的和Sn等于n(n+1)(2n+1)/6（立方和公式证明）

三角函数

三角函数有理积分代换：

三角函数基本关系、诱导公式、特殊三角函数值、倍角公式、半角公式、和差公式、和差化积与积化和差、万能公式（可用于三角函数的有理积分替代）

指数运算法则

对数运算法则

一元二次方程基础

韦达定理、根的判别式、抛物线顶点

因式分解公式

阶乘与双阶乘

1、n!=1*2*3*...*n 2、(2n)!!=2*4*6*...*2n=2^n*n! (2n-1)!!=1*3*5*...*(2n-1) 双阶乘不是连续两次阶乘，而是隔一个数字相乘

常用不等式

1、任意实数a、b， 2、等号成立条件是a=b 3、 4、 5、 6、

有很多，注意积累并熟练运用。

双曲正余弦函数

1、双曲正弦函数其反函数是反双曲正弦函数，是奇函数。 2、双曲余弦函数，是偶函数

数列极限

定义

1、从原数列中选取无穷多项，并按原来的先后顺序排列组成新的数列，称为原数列的子列。原数列收敛，则所有子列收敛与同一值，若存在某一个子列发散，则原数列发散。若存在两个不同的子列收敛到不同的极限，则原数列发散。

性质

唯一性

若数列极限存在，则该极限是唯一的

有界性

若数列的极限存在，则该数列是有界的

保号性

若数列极限存在记为a，且a>0（或a<0），则存在正整数N，当n>N时有，an>0（或an<0)

若数列极限存在且从某项起an>0，则其极限值必大于0.

运算规则

夹逼准则

单调有界准则

单调有界数列必有极限

函数极限与连续性

函数极限

邻域

领域，δ邻域，去心δ邻域，左、右δ邻域

此外还有在二维情形下的邻域定义

定义

性质

唯一性

局部有界性

局部保号性

运算规则

夹逼准则

洛必达法则

0/0

∞/∞

泰勒公式

公式

展开原则

归结原则（海涅定理）

无穷小比阶

1、高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小 2、并不是所有的无穷小都是可以比阶的，如x→0时，x*sin(1/x)和x^2就无法比阶，它们的比值是sin(1/x)/x，极限不存在。 3、有限个无穷小的和是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积是无穷小。

常用的等价无穷小

连续与间断

连续点的定义

间断点的定义与分类

第一类间断点

可去间断点

跳跃间断点

第二类间断点

无穷间断点

振荡间断点

其他类型的第二类间断点

一元函数微分学的概念与计算

概念

引例

导数的概念

微分的概念

导数与微分的计算

四则运算

分段函数的导数

复合函数的导数与微分形式不变性

反函数的导数

参数方程所确定的函数的导数

隐函数求导法

对数求导法

幂指函数求导法

高阶导数

归纳法

莱布尼茨公式

泰勒公式

变限积分求导公式

基本求导公式

一元函数微分学的几何应用

极值与最值的概念

极值

最值

单调性与极值的判别

单调性判别

判极值的必要条件

判极值的第一充分条件

判极值的第二充分条件

判极值的第三充分条件

凹凸性与拐点的概念

凹凸性

拐点

凹凸性与拐点的判别

凹凸性判别

判拐点的必要条件

判拐点的第一充分条件

判拐点的第二充分条件

判拐点的第三充分条件

渐近线

铅锤渐近线

水平渐近线

斜渐近线

最值与取值范围

在闭区间[a,b]上求

在开区间（a,b)上求

作函数图形

中值定理（十大定理）

定理一有界与最值定理

定理二界值定理

定理三平均值定理

定理四零点定理

定理五费马定理

定理六罗尔定理

定理七拉格朗日中值定理

定理八柯西中值定理

定理九泰勒公式

定理10 积分中值定理

零点问题与微分不等式

零点问题

零点定理（证明存在性）

单调性（证明唯一性）

罗尔原话

实系数奇次方程至少有一个实根

微分不等式

用函数性态证明不等式

用常数变量化证明不等式

用中值定理证明不等式

一元函数积分学的概念与计算

概念

不定积分

原函数与不定积分

原函数（不定积分）存在定理

定积分

定积分的概念

定积分存在定理

定积分的性质

变限积分

变限积分的概念

变限积分的性质

变限积分的求导公式

反常积分

反常积分的概念的通俗理解

无穷区间上反常积分的概念与敛散性

无界函数的反常积分的概念与敛散性

判断敛散性

计算

基本积分公式

凑微分法

换元法

分部积分法

有理函数积分

一元函数积分学的几何应用

平面图形的面积

旋转体的体积

函数的平均值

积分等式与积分不等式

积分等式

用中值定理

用夹逼准则

用积分法

积分不等式

用函数的单调性

用拉格朗日中值定理

用泰勒公式

用积分法

多元函数微分学

基本概念

平面点集的概念

极限

连续

偏导数

可微

偏导数的连续性

多元函数微分法则

链式求导法则

隐函数存在定理（公式法）

多元函数的极值与最值

概念

无条件极值

隐函数

显函数

条件极值与拉格朗日乘数法

闭区域边界上的最值

闭区域上的最值

二重积分

概念、性质与对称性

几何背景

概念

对称性

普通对称性

轮换对称性

计算

直角坐标系

极坐标系

极坐标系与直角坐标系选择的一般原则

极坐标与直角坐标系互化

积分次序

用二元积分处理一元积分的问题

常微分方程

微分方程的概念

微分方程

常微分方程

微分方程的阶

微分方程的解

微分方程的通解

初始条件与特解

用概念解题

一阶微分方程的求解

变量可分离型

可化为变量可分离型

一阶线性微分方程

伯努利方程

二阶可降阶微分方程的求解

y''=f(x,y')型

y''=f(y,y')型

高阶线性微分方程的求解

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解的结构（以二阶为例）

二阶常系数齐次线性微分方程的通解

二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

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无穷级数

常数项级数

常数项级数的概念与性质

引言

概念及其敛散性

性质

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正项级数及其敛散性判别

收敛原则

比较判别法

比较判别法的极限形式

比值判别法（达朗贝尔判别法）

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交错项级数及其敛散性判别

莱布尼茨判别法

任意项级数及其敛散性判断

绝对收敛

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收敛级数的性质

幂级数

幂级数及其收敛域

概念

阿贝尔定理

收敛域的求法

幂级数求和函数

概念

运算法则

性质

重要展开形式

函数展开成幂级数

概念

求法

直接法

间接法

数学一、数学二专题内容

一元函数微分学应用

物理应用