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高等数学第一章知识大纲总结，包括函数概念、函数类型、函数性质、函数极限、数列极限、求极限方法、连续概念等等。
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高等数学
第一章 函数 极限 连续
函数
概念
函数类型
复合函数
复合函数求导保留原有的复合结构
反函数
满足一一对应关系
反函数一阶导
反函数二阶导
基本初等函数
反三角函数
对数函数
幂函数
三角函数
指数函数
函数性质
单调性
奇偶性
有界性
闭区间连续
闭区间有界
开区间连续且左右极限存在
区间有界
周期性
极限
函数极限
性质
邻域保号性
邻域有界性
邻域不等式性质
唯一性
极限存在即唯一
一点的导函数正负无法决定区间单调性
无穷小
高阶
低阶
同阶
等价
有限无穷小之间的四则运算
无穷大
常用的无穷大比较
有限个无穷大乘积还为无穷大
无穷大与无穷小之间的关系
函数极限的存在性
1、具体形 但不满足洛必达 可使用夹逼准则
2、抽象形 使用单调有界准则
* 数列极限
极限存在准则
单调有界准则
夹逼准则
数列极限类型
不定式
n项和
放缩法
分母最大项与最小项之比为1直接放缩
n项乘积
取对数 化为n项和
递推关系式
根据递推关系利用等比数列求极限
巧用拉格朗日中值定理指数函数常用到
方程根构成的数列极限问题
根的存在性唯一性
存在性 零点定理
唯一性 单调
利用不定式证明数列单调
手法！
压缩映射求解数列极限
无法判断单调性时使用
求极限方法
1、有理运算法则
2、基本极限
3、等价无穷小
4、洛必达
5、泰勒公式
6、夹逼准则
次量级时 使用夹逼准则
7、定积分定义
同量级时使用定积分定义
8、利用单调有界准则
9、利用中值定理
f-f 拉格朗日中值定理
积分中值定理
积分中值定理的拓展
连续
连续概念
一点处极限值等于函数值
左右导数存在
左右连续
间断点及其类型
间断点概念
去心邻域内有定义
间断点类型
第一类间断点
可去间断点
跳跃间断点
第二类间断点
震荡间断点
无穷间断点
连续函数在闭区间上的性质
最值定理
介质定理
零点定理
第二章 一元微分学
导数与微分
导数概念
微分概念
导数与微分的几何意义
导数几何意义
切线斜率
微分几何意义
函数上的改变量
洛必达法则使用
n阶可导只能使用到n—1阶洛必达
n阶可导连续可以使用到n阶洛必达
f(x)与If(x)I之间的关系
基本求导公式
求导法则
有理运算法则
复合函数求导
链式求导
注 求导之后保留原有的复合结构
抽象函数复合时
隐函数求导
两边同时对x求导
利用多元微分方法
参数方程求导
一阶导
二阶导
反函数求导
一阶反函数的导数等于原函数导数的倒数
二阶反函数求导
对数求导
多用于幂指函数
分段函数求导
区间上使用公式求导
分界点使用导数定义求导
高阶导数求导
基本公式
根据一阶导二阶导写通式
泰勒公式
导数与应用
微分中值定理
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
泰勒定理 拉格朗日余项
极值
必要条件
第一充分条件
两端异号
第二充分条件
第三充分条件
最值
凹凸性
二阶导判断
拐点
二阶导两段异号
渐近线
水平渐近线
垂直渐近线
注意无定义点
斜渐近线
注意x趋向于负无穷时的斜渐近线
曲率
直角坐标
参数方程
描述曲线弯曲程序的量 曲率越大 弯曲越厉害
曲率圆
曲率半径
曲率圆心
方程根的存在性及个数
存在性
闭区间连续 端点值相乘小于零
罗尔定理 构造辅助函数
闭区间连续开区间可导 端点值相同
个数
单调性
罗尔定理推论
证明函数不等式
构造辅助函数 使用单调性解决
拉格朗日
泰勒公式 出现高阶导数时使用
常用不等式
微分中值定理证明
单中值问题
构造辅助函数使用罗尔定理
辅助函数
分析法
微分方程法
双中值问题
中值点无要求
柯西
中值点不相等
两个子区间内分别用拉格朗日中值定理
中间点的选取至关重要
一点处泰勒定理拉格朗日余项问题
在导数点进行泰勒展开端点分别代入
端点值分别带入
第三章 一元积分学
不定积分
两个概念
原函数
带有任意常数C
原函数存在定理
函数连续一定存在原函数
函数有第一类间断点和无穷间断点一定不存在原函数
不定积分性质
基本积分公式
三类主要积分方法
凑微分
换元法
分部积分法
常用方法
两类不同函数相乘时
三类常见可积函数积分
有理函数积分
加项减项凑微分
部分分式展开法
注意X前面的系数为1
三角函数积分
凑三角函数
无理函数积分
变量代换
定积分
和式极限 子区间长度乘函数值 相加
定积分几何意义
函数大于零
表示为函数面积
函数小于零
表示为函数面积的负值
函数有大于零和小于零部分
表示为X轴上方函数面积减去X轴下方函数面积
可积性判定
定积分存在 一定有界
函数连续 存在定积分
函数有界 且只有有限个间断点 定积分存在
函数存在有限个第一类间断点 定积分存在
定积分计算
牛顿莱布尼茨公式
换变量 换上下限
函数奇偶性
奇函数对称区间积分为0
偶函数对称区间积分翻倍
点火公式
偶次方
奇次方
区间再现公式
定积分性质
变上限积分函数及其应用
变限积分无任意常数C
连续性
若函数可积 则变上限积分函数连续
可导性
在一点时
函数连续
变上限积分函数可导
变上限积分函数连续不可导
函数为奇函数 变上限积分函数一定位偶函数
函数为偶函数 下限为0的变上限积分函数一定为的奇函数
变限积分求导
洛必达
等价无穷小代换
积分不等式
连接函数的原函数 函数本身 函数导数
变上限积分
若出现函数单调性 常用构造变限积分证明不等式
柯西不等式
递推关系证明
常用分部积分法
积分等式
构造辅助函数 使用零点定理
反常积分
无穷区间上的反常积分
极限存在 则收敛 否则 发散
收敛判定定理
比较判别法
P大于1 收敛
P小于等于1 发散
无界函数的反常积分
瑕点
极限存在 则收敛 否则发散
P小于1 收敛
P大于等于1 发散
反常积分收敛性判断
定积分应用
几何应用
平面图形面积
万能公式
极坐标
旋转体体积
绕直线旋转
绕X轴旋转
绕Y轴旋转
已知截面面积的体积
弧长
X的取值范围为上下限
注意上下限
旋转体侧面积
物理应用
压力
水压强公式
抽水做功
常微分方程
基本概念
微分方程
含有未知函数的导数或微分
阶
未知函数的导数的最高阶的阶数
解
通解
含有任意常数C
任意常数的个数与阶数相同
特解
不含任意常数C
初始条件
可以用来求解任意常数C
一阶微分方程
可分离变量微分方程
两边同时积分
齐次微分方程
一阶线性非齐次方程
一阶线性齐次方程
可降阶的高阶方程
可分离变量型
含X型
不含X的
高阶线性微分方程
二阶线性微分方程
齐次解
齐次解之间应线性无关
比值不等于常数则线性无关
二阶常系数线性微分方程
单根
重单根
共轭复根
重共轭复根
幂函数乘指数函数
是否是特征根
指数函数乘正弦函数
看共轭复数是否等于特征根
积分方程
与变限积分结合
求导时注意上下限
函数方程
与变量代换相结合
数形结合构造函数等式
物理方程
多元函数微分学
重极限
极限存在
一元函数
左右两个方向趋近 极限相等
多元函数
以任意方向趋近 函数极限相等
上下同阶 函数一般不存在
上面比下面高阶 函数一般为0
上面比下面低阶 函数一般为无穷大
极限不存在
只需证明沿两种不同路径 极限不相等
取绝对值夹逼
极限值等于函数值
偏导数
定义
对X求导Y不变
对Y求导X不变
一阶偏导数
高阶偏导数
二阶偏混合偏导数连续
混合偏导数相等
全微分
全增量
可微性判定
一阶偏导数存在
充分条件
一阶偏导数连续
定义法判定可微性
偏导数和全微分计算
链式求导法则
求导后的函数依然具有和原来一样的复合结构
全微分形式不变性
公式法
两边同时求导
两边同时微分
极值与最值
极值概念
必要条件 极值点偏导数为0
无条件极值
条件极值
构造辅助函数
使用拉格朗日乘数法
最大值 最小值
区域内部极值
边界极值
比较
常考题型
讨论连续性 可导性 可微性
求一点处的偏导数和偏微分
可以先用先代后求的方法
求出具体表达式函数的偏导数和全微分
含有抽象函数的复合函数偏导数和全微分
隐函数的偏导数与全微分
条件极值求解最大值最小值
二重积分
和式极限
几何意义
曲顶柱体的体积
不等式性质
与一元积分学保持一致
计算
直角坐标系
先y后x
作平行y轴直线
先x后y
作平行x轴直线
极坐标系
先r后角
被奇函数适合极坐标
积分域为圆的一部分适合极坐标
利用对称性和奇偶性计算
积分域关于y轴对称 看x的奇偶性
奇函数对称区间为0
偶函数加倍
积分域关于x轴对称 看y的奇偶性
利用变量对称性求解
若积分域关于y=x对称 则x与y互换 结果不变
重点题型
计算二重积分
注意积分区域
累次积分次序交换计算
重点 是 画域
定上下限
二重积分不等式题目
注意被积函数的正负
二重积分综合题
与极限综合
通过累次积分再进行洛必达
注意二重积分计算
