线性代数期末总结(1)

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。

线性代数

• 向量空间
  • 向量的线性相关性与矩阵的秩
    • n维向量
      • 向量定义
      • 向量组定义
    • 运算
    • 线性相关
    • 秩
      • 向量组的秩
        • 向量组的线性关系
        • 极大线性无关组和秩
      • 矩阵的秩
        • 定义
• 线性映射
  • 线性空间
    • 向量空间
      • 向量空间的定义
      • 子空间
    • 基与维数
    • 基变换和坐标变换
    • 内积与正交
    • 线性空间
    • 线性变换
• 映射不变量
  • 特征值与特征向量
    • 
      • 特征值与特征向量
        • A为n×n矩阵，如果存在数λ以及非零n维列向量a，使得Aa=λa。 则λ为A的一个特征值，a为A对应于λ的特征向量
          • A(ka)=k(Aa)=kλa=λ(ka)
          • A(a₁+a₂) = Aa₁+Aa₂ = λa₁+λa₂ = λ(a₁+a₂)
          • 
      • 求矩阵A的特征向量和特征值
        • 1.将Aa=λa改写为(λE-A)a=0。 2.a可看成为齐次线性方程组(λE-A)X=0的一个非零解。 3.计算特征多项式|λE-A|=0，求出特征值λ的值（有一个或多个）。 4.将特征值代入齐次线性方程组，求出X的一组（或几组）解，为基础解系ξ。 5.对应λ的全部特征向量为kξ，其中k为任意非零数； 或k₁ξ₁+k₂ξ₂,其中k₁，k₂为不全为零的任意数
      • 性质
        • 
        • 
    • 相似矩阵
      • P⁻¹AP=B
        • 1.A~A
        • 2.若A~B，则B~A
        • 3.若A~B，B~C，则A~C
        • 4.相似矩阵拥有相同的特征多项式，从而拥有相同的特征向量
    • 矩阵对角化
    • 实对称矩阵的相似对角化
    • 实二次型
      • 
      • 线性替换
      • 合同
      • 化为标准型
        • 正交线性替换法
        • 配方法
        • 初等变换法
      • 规范形与惯性指数
      • 二次方程
    • 正定二次型
• 代数工具
  • 行列式
    • 定义：由n²个数组成的n行n列的n阶行列式定义为如下n！项的代数和
      • 
    • 基本性质
      • 转置行列式：行列式D的行与列对应互换得到的新的行列式，记作Dᵀ
      • 性质1：Dᵀ=D
      • 性质2：任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号
        • 推论: 两行（或两列）元素对应相同 的行列式，其值为零
      • 性质3：若行列式某行（或某列）有公因子λ，则λ可提到行列式外面
      • 性质4：行列式中若有两行（或两列）对应元素成比例，其值为零
      • 性质5：
        • 
      • 性质6：行列式某行（或某列）元素加上另一行（或另一列）元素的λ倍，行列式的值不变
      • 便于行列式计算
    • 展开
      • 余子式和代数余子式
        • 
      • 若行列式D的某行（或某列）除了一个元素，其余元素都为零，则：
      • 行列式展开定理
        • 
      • 范德蒙行列式
        • 
    • 克莱姆法则
      • n元线性方程组
      • 齐次线性方程组
        • 若齐次线性方程组有非零解，则系数行列式D=0
  • 矩阵
    • 定义：由m×n个数aij（i=1,2,...,m；j=1,2,...,n）排成的m行n列的矩形数表称为m行n列矩阵
    • 特殊矩阵
      • 零矩阵：元素全为零。
        • 对角矩阵：除对角线上的元素外，其余元素全为零的方阵
          • 数量矩阵：是对角矩阵且所有对角线上的元素全为常数k。
            • 单位矩阵：是对角矩阵且所有对角线上的元素全为常数1。
      • 同型矩阵：行数列数都相等。
        • 相等矩阵：是同型矩阵且对应元素相等。
    • 基本运算
      • 线性运算
        • 加法
          • ❗只有同型矩阵可以进行加减法运算
        • 数乘
          • |kA| = kⁿ|A|
        • 在同型矩阵前提下：
      • 乘法
        • C=AB
        • ❗左矩阵A的列数需等于右矩阵的行数，“中间相等取两头”
        • 
          • 一般不满足交换律❗如果AB可以交换，则：
            • 1.AB=BA
            • 2.A,B都是方阵
            • 3.A,B都是n阶
      • 幂与多项式
        • Aᵏ=AA……A（k个A）
          • A⁰=E(A≠O)
          • AᵏAˡ=Aᵏ⁺ˡ
            • 幂等矩阵：A²=A
            • 幂零矩阵：Aᵏ=O
          • (Aᵏ)ˡ=Aᵏˡ
        • A的m次多项式
          • 
            • ❗一般(AB)ᵏ≠AᵏBᵏ；普通平方差和公式也不适用；
            • 特别地，(A±E)²=A²±2AE+E²
      • 转置
        • 把m×n矩阵A的行换成同序数的列而得到n×m矩阵Aᵀ，
          • 
        • 对称矩阵：Aᵀ=A
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          • A为m×n矩阵，AᵀA和AAᵀ均为对称矩阵
        • 反对称矩阵：Aᵀ=-A
          • 
          • 反对称矩阵的主对角元素均为零
      • 方阵的行列式：n阶方阵A的元素按原来的位置所构成的行列式，记作|A|或detA
        • 
    • 可逆矩阵
      • 定义：A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E， 则A为可逆矩阵，B为A的一个逆矩阵。逆矩阵可以记作A⁻¹
      • 
      • 判定定理以及求法
        • 伴随矩阵
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        • 求矩阵A的逆矩阵-法①：1.求出|A|。2.求出A的余子式及代数余子式。3.求出A*。4.根据定理2.2的公式求出A⁻¹。
        • 法②：初等变换法求逆矩阵
      • 若A为n阶方阵：
        • |A|≠0，A为非奇异矩阵
          • ⭐可逆矩阵是非奇异矩阵
        • |A|=0，A为奇异矩阵
    • 分块矩阵
      • 定义：在矩阵A的行间或列间分别用若干条横线和纵线将它分割成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块或子矩阵，以子块为元素的形式上的矩阵。
      • 运算
        • 加减法
          • 前提：❗同型矩阵❗做同样形式的分块❗对应子块也是同型矩阵
        • 数乘
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        • 乘法
          • ❗A,B 按普通矩阵的乘法能相乘，即左矩阵A的列数需等于右矩阵B的行数
          • ❗左矩阵A的列的分法与右矩阵B的行的分法一致
          • ❗将子块当做单个元素按普通矩阵的乘法相乘
        • 矩阵相乘，仅一个矩阵分块
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      • 转置
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      • 行列式
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      • 求分块矩阵M的逆
        • 1.求出|M|。 2.设M⁻¹及其子块为未知。3.根据公式MM⁻¹=E设方程。4.解方程求出未知子块的表达式
    • 矩阵的初等变换
      • ❗用箭头不能用等号
        • 变化类型：1.交换两行。
          • 3.某一行的k倍加到另一行
          • 2.用k≠0乘以矩阵的某一行/列
      • 初等方阵
      • 等价
        • PAQ=B
          • 1.A→A
          • 2.若A→B,则B→A
          • 3.若A→B,B→C,则A→C
          • 4.任意矩阵A都等价于一个标准型矩阵
      • 初等变换法求逆矩阵
        • 利用（A,E）→（E,A⁻¹），仅做初等行变换
          • 1.设矩阵（A，E）。2.将矩阵（A，E）做初等行变换，化为（E，A⁻¹），即可求出A⁻¹。 3.验证：公式：AA⁻¹=E
          • 若左子块不能化为单位阵，则不可逆
  • 线性方程组
    • 表现形式
      • AX=B
      • 增广矩阵
    • 解的判定
    • 齐次线性方程组
    • 非齐次线性方程组
• （5）AE=EA=A时，两个E不一定相等