线性代数2

线性代数知识思维导图，包括：euqation、determinant、linear space、linear mapping、martrix manipulation、bilinear function。

linear algebra

• euqation
• determinant
  • 是n！项的代数和，其中每一项是不同行不同列的n个元素的乘积，每一项按行指标按自然序排好位置，当列指标形成的排列是偶排列时该项带+号
  • Laplace定理
    • n阶矩阵A，取定第i1,i2,..,ik行，贼detA=这k行形成的所以k阶子式与它自己的代数余子式的乘积之和
• linear space
• linear mapping
• martrix manipulation
• bilinear function
  • 线性映射的定义和性质
    • 自身的线性映射叫线性变换
  • 线性变换和线性映射的矩阵
    • 投影p在基上形成像的坐标=矩阵的列向量
    • Hom（v，v‘）：A线性变换（a1,...,an）=(b1,...,bn)矩阵A
    • 同构映射
  • 线性变换在不同基下的矩阵之间的关系
    • 两个基之间转换的矩阵➡️过渡矩阵S
      • 线性变换A（a1,..,an）=(a1,...,an)矩阵A
      • 线性变换A（b1,..,bn）=(b1,...,bn)矩阵B
      • S过渡矩阵是可逆矩阵
      • B=S逆AS
      • A与B相似
    • 相似矩阵特征
      • det
      • rank
      • trace迹
        • 矩阵主对角线只和
      • 特征值、特征向量
      • 这些都相等
  • 线性变换的特征值和特征向量
    • 思路来源
      • 几何空间向量的投影P在平面的像
      • Pu 向量=1·向量
      • 定义：线性变换A·a =入· a，其中a为非零向量
    • 性质
      • 不同特征值的特征向量线性无关
      • 线性变换的特征值和特征向量=对应矩阵A的特征值和特征向量
      • Aa=入1 a，移项（入E-A）a=0
    • 求域F上n级矩阵A的特征值和特征向量步骤
      • 上面式子a看成是齐次线性方程组的一个非零解
      • 即det（入1E-A）=0
      • 即入1是一元多形式在F中的一个根
      • det（入E-A）称为矩阵A的特征多形式
      • 入E-A称为特征矩阵
    • 步骤
      • 1.计算det求出所有特征值
      • 2.对于每个特征值求出对应齐次方程的解空间的基
      • 所以全部特征向量就是基下的解空间
    • 特征多项式f（入）求解
      • 不太懂点，笔记p100
• linear space with metrics
  • 矩阵乘法
    • （AB）T=（B）T（A）T
    • 左行右列
  • 矩阵rank定理
    • rank（AB）=min{rankA,rankB}
    • max{rankA,rankB}<=rank(A,B)<=rankA+rankB
      • 左最高子式，右rank（A转置B转置）
    • rank（A+B）<=rankA+rankB
      • rank(A+B)<=rank(A+B B)转置
    • Amxn BnxL=0➡️rankA+rankB<=n
      • 解空间=n-rankA
        • 其中n是n元未知量个数
  • 特殊矩阵
    • 基本矩阵E
    • 对角矩阵
      • 对角x对角=对角
    • 数量矩阵
    • 上三角矩阵
    • 初等矩阵P
      • 左行右列
    • 对称矩阵、斜对称矩阵
      • AT=A
  • 可逆矩阵
    • 定义：存在n级矩阵A和B，st AB=BA=I
    • 定理
      • 1.A和B都可逆，（AB）¯¹=B¯¹A¯¹
      • 2.（AT）¯¹=（A¯¹）T
      • 3.用可逆矩阵左右乘矩阵A不改变矩阵rank
      • 4.n级矩阵A可逆➡️⬅️A等于一些初等矩阵的乘积
      • 5.求逆矩阵
        • 初等变换法（A｜I）
        • 伴随矩阵A*法
  • 矩阵的分块
    • 是一直不太懂的地方
  • 矩阵乘积的行列式
    • ASxN，BNxS
      • S>n时detAB=0
      • S=N时，detAB=detA✖️detB
      • 当S<n时，类似Laplace