第四章 向量组的线性相关性

考研线代第四章 向量组的线性相关性读书笔记，包括：一、向量组的线性表示；二、向量的线性相关性；三、向量组的秩；四、线性方程组解的结构。

第四章 向量组的线性相关性

• 一、向量组的线性表示
  • n维向量
    • 类型
      • 列向量
      • 行向量
      • 零向量
      • 单位向量（基向量）
        • 每列必定线性无关
        • 构成的矩阵必定满秩
    • 向量运算
      • 相加
      • 数乘
      • 运算法则
      • 向量相等
  • 线性组合
    • 定义
      • m个n维向量a1,a2,...am，任意一组实数k1,k2...km；有表达式k1a1+k2a2+...+kmam，称为向量a1,a2...am的一个线性组合
  • 向量的线性表示
    • 向量角度，解决Ax=b
    • 定义
      • 如果向量β能表示为a1,a2...am的线性组合，即：β=k1a1+k2a2+...+kmam则称β能够由向量组：a1,a2...am线性表示。反之，若β≠k1a1+k2a2+...+kmam,则β不能由a线性表示。
    • 判定
      • 无解(不能表示)
        • R(a1,..,am,β)>R(a1,...,am)
      • 唯一解（表示法唯一）
        • R(a1,..,am,β)=R(a1,...,am)=n
      • 无穷解（表示法不唯一）
        • R(a1,..,am,β)=R(a1,...,am)<n
      • 有解（能表示）R(a1,..,am,β)=R(a1,...,am)
  • 向量组的线性表示和等价
    • 定义
      • 设：有向量组A：a1,...am 和向量组B：β1,...,βm；若A中的每个向量都可以由B中的每个向量线性表示，则称：向量组A可以由向量组B线性表示
      • 若向量组A和B可以相互线性表示，则称：向量组A和B等价。
        • 矩阵和向量组等价的区别
    • 判定
      • 向量组B可由向量组A线性表示：R(B) ≤ R（A）
        • 方程组Ax=B有解
      • 两个向量组等价：R（B）=R（A）=R（A,B）
• 二、向量的线性相关性
  • 线性相关和无关
  • 定义
    • 给定m个n维向量：a1,...,am，如果存在不全为零的常数:k1,...,km，使得:k1a1+...kmam=0 ，则称向量组 a1,...,am线性相关。若存在常数k1,...,km，当且仅当k1=...=km=0，使得:k1a1+...+kmam=0，则称向量组 a1,...,am线性无关。
  • 判定
    • a1,..,am线性相关
      • 向量组非方阵
        • k1,...km不全为0
        • Ax=0有非0解（∞解）
        • R(a1,...,am)< m
      • 向量组为方阵
        • n个n维向量
        • |a1,...,am|=0
        • n个n维向量组相关，n+1维相关（添行）
      • 向量组只要相关
        • a1,..am,相关,则a1,...,am,....,at必相关（添任意列）
    • a1,...,am线性无关
      • k1=k2...=km=0
      • Ax=0 唯一解（只有零解）
      • R(a1,...,am) = m
      • n维无关，n+1维无关
  • 性质
    • 向量组A：a1...am线性相关 ⇔ 向量组A中至少有一个向量可由剩下m-1个向量表示
    • 向量组A：a1...am无关，且a1...am,β相关 ⇒ 向量β可由a1,..,am线性表示且唯一
    • 当n >m时,n个m维向量a1,..,an必定相关
      • 理解：方程个数<未知数个数，AX=0有∞解
    • 完整组和部分组
      • 部分组相关 -> 完整组相关
      • 完整组无关 -> 部分组无关
    • 向量组B：b1...bt能由向量组A：a1...as表示, 且s>t ⇒向量组A：a1...as必定相关
  • 几何意义
    • a相关 -> a=0 (零向量)
    • a1,a2相关 -> a1,a2共线（成比例）
    • a1,a2,a3相关 ->a1,a2,a3共面
• 三、向量组的秩
  • 定义
    • 极大无关组
      • 设A：a1,..am是一个完整向量组，从中选r个向量构成部分组；
        • 部分组无关
        • 完整组中任意一个向量可由部分无关组表示
        • 部分组若添加多一个列向量必相关
    • 秩
      • 完整组中极大无关组所包含的向量个数s称为向量的秩，记为：R(a1...am) = s
  • 极大无关组和秩的性质
    • 极大无关组不唯一
      • 极大无关组不唯一：R（a1,..,as）= r ,则向量组a1...as中任意r个无关向量都可以组成该向量组的极大无关组
    • 三秩相等
      • 矩阵的秩 = 行向量的秩 = 列向量的秩
        • 矩阵和向量的秩区别？
          • 矩阵的秩=非零子式的最高阶数
          • 向量组的秩 = 无关向量的个数
    • 两向量组维数相同，且向量组A可由向量组B线性表示 ⇒ R(A)= R(A,B）
    • 两向量组维数相同，若向量组A可由向量组B线性表示 ⇒ R(A)≤R（B）
    • 两向量组维数相同，若向量组A可由向量组B等价 ⇒ R(A) =R（B）
• 四、线性方程组解的结构
  • 齐次方程组 Ax=0
    • 解向量
      • 定义：x=ξ是Ax=0的解，则称x=ξ是Ax=0的解向量
      • 性质
        • 倍数：x=ξ是Ax=0的解，则x=kξ也是Ax=0的解
        • 组合：x1=ξ1和x2=ξ2是Ax=0的解,则x=ξ1+ξ2也是Ax=0的解
        • 线性组合：ξ1,...ξt是Ax=0的解，则k1ξ1+...+ktξt是Ax=0的解
    • 基础解系
      • 齐次方程组Ax=0解集的极大无关组，称为Ax=0的基础解系
      • 若是基础解系，则满足条件
        • 解向量组：ξ1,...,ξt是Ax=0的解
        • 解向量组：ξ1,...,ξt线性无关
        • Ax=0的任意一个解均可由解向量组ξ1,...,ξt线性表示
    • 解的结构
      • n-R(A)=基础解系中无关解向量个数
        • 若A是mxn矩阵，且R(A)=r<n(∞解)，则n元的齐次方程组Ax=0一定有n-r个无关解向量。
      • 齐次方程组Ax=0的任意一个解可由n-R(A)个无关的解向量线性表示
      • 通解：x=C1ξ1+...+C1ξn-r
        • 若A是mxn矩阵，且R(A)=r，则ξ1...ξn-r为Ax=0的基础解系，则Ax=0的通解为：x=C1ξ1+...+C1ξn-r
  • 非齐次方程组Ax=b
    • 解的判定
      • Ax=b有解 ⇔ R(A)=R(A,b)
        • 唯一解：R(A)=R(A,b)=n
        • ∞解：R(A)=R(A,b)<n
    • 解的结构
      • 非齐次的两个解作差=齐次的解
        • x=η1，x=η2是Ax=b的两个解，则x=η1-η2是Ax=0的解
      • 齐次的一个解+非齐次的一个解=非齐次的解
        • x=η是Ax=b的解，x=ξ是Ax=0的解；则x=η+ξ是Ax=b的解
      • 非齐次特解+齐次的通解 = 非齐次通解
        • 齐次通解=齐次的基础解系的线性组合
        • x=η*是Ax=b的一个解（特解），对应的AX=0的基础解析为ξ1...ξn-r；则Ax=b的通解为 ：x=η*+k1ξ1+...+kn-rξn-r
  • 公共解和同解
    • 公共解
    • 同解
      • n元齐次方程组：Ax=0 和Bx=0有同解 ⇔ R(A) = R(B)