导图社区 线性代数
线性代数期末考试重点考点整理，包括：行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的相似、如何对角化、是否可对角化。
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线性代数
行列式
2阶行列式
主对角线乘积-副对角线乘积
3阶行列式
对角线法则/沙路法则
子主题
N阶行列式
逆序
偶排列
+
奇排列
-
利用定义求行列式的值
行列式的性质
行列式=转置行列式
任意两行/列互换，行列式变号
两行/列完全相同，行列式的值为0
某一行/列的所有元素的公因子k可以提到行列式外面
两行/列成比例，行列式的值为0
k×行列式=k×某一行/列
某一行/列可以分为两组，则行列式可以分为两组
r1+kr2,行列式的值不变
行列式的展开
余子式
Mij
代余子式
Aij=（-1)^(i+j) Mij
展开
D=aij×Aij...之和=aij×（-1)^(i+j) Mij...之和 同行
元素乘代余子式
推论
一行aij×另一行Aij...之和=aij×（-1)^(i+j) Mij...之和=0 不同行
降阶法计算行列式
范德蒙德行列式
后一排是前一排的N次方
克莱姆法则
齐次线性方程组
D≠0
只有零解
存在非零解
D=0
N元线性方程组
解不唯一
解不存在
矩阵
特殊方阵
数量矩阵
单位矩阵
E/I
En/In
零矩阵
0
对角矩阵：主对角线以外的元素全为零
运算
线性运算
加法
对应元素相加
数乘矩阵
乘上所有元素
乘法（矩阵乘矩阵）
前行乘后列再相加
AB=0不能推出A=0/B=0
转置
（A)T=A
(A+B)T=AT+BT
(kA)T=kAT
(AB)T=BTAT
方阵的行列式
|AT|=|A|
|kA|=k^n|A| n为A的阶数
|AB|=|A|×|B|
|AB|=|BA|
逆
定义
同阶，互换，AB=BA=E,则AB互为逆矩阵
逆是唯一的
单位矩阵可逆且与原来相等
条件
伴随矩阵A*
2阶：主交换，副变号
n阶：由代余子式Aij组成
充要条件
行列式|A|≠0
用来判断A是否可逆
A的逆=A*/|A|
用来求逆矩阵
性质 若方阵A可逆，则
|A*|=|A|^(n-1)
初等变换
对调 倍乘 倍加
E进行一次初等变换：初等矩阵
E(i,j): 交换ij两行
行变换→左乘 列变换→右乘
不考但注意
行阶梯型矩阵
行最简矩阵
各非零行的首非零元素为一
每行首非零元素的其余列元素都是零
秩
矩阵中不等于零的最高阶子式的阶数
线性方程组
概念
齐次线性方程组 Ax=0
非齐次线性方程组 Ax=β
增广矩阵
判别定理
齐次Ax=0
|A|≠0，即r(A)=n 唯一解（0）
r(A)＜n 非零解
非齐次Ax=β
r(A)=r(增)=n 有唯一解
r(A)=r(增)=r＜n 有无穷解
r(A)≠r(增) 无解
向量
线性相关
结论等价
向量组a1,a2,...as线性相关
r(A)＜s s为分量的个数
若s＞m，则s个m维向量线性相关
矩阵列向量线性相关
行大行相关，列大列相关
n个n维向量组线性相关↔|A|=0 线性无关↔|A|≠0
齐次线性方程组Ax=0有非零解 A=(a1,a2,...as)
非齐次线性方程组Ax=β有唯一解
向量组线性相关的充要条件：至少有一个向量可以由其余的几个向量线性表示
部分相关，则整体相关
整体无关，则部分必无关
极大无关组
通常初等变换为最简矩阵
极大无关组所含向量的个数称为秩
解
系数矩阵化为最简矩阵
得到同解方程组
令...,得到基础解系ξ1...
通解ξ=ξ1+...
非齐次线性方程组
增广矩阵（前部分）化为最简
得到同解方程组和原方程组的一个特解η0
得到导出组(齐次)的同解方程组
通解η=η0+c1ξ1+...(c1...∈R)
矩阵的相似
特征值与特征向量 Aξ=λξ → (λE-A）ξ=0
λ为特征值 ξ为特征向量 |λE-A|=0为特征方程 |λE-A|为特征多项式 λE-A 为特征矩阵
由特征方程|λE-A|=0得到特征值λ1...
λ1...代入方程组(λE-A）x=0得到基础解系ξ1...
对应全部特征向量c1ξ1+...(c1≠0)
基本性质
λ1*λ2*...*λn=|A|
λ1+λ2+...+λn=a11+a22+...+ann A的迹/trA
特征值都不等于零的时候
λ直接代A
相似：若PAP^(-1)=B 则 A~B
|A|=|B|
r(A)=r(B)
可判断AB的相似性
特征值相等，迹相等，主对角线之和相等
可对角化的充要条件：有n个线性无关的特征向量
令P=(ξ1...),则相似对角矩阵Λ=PAP^(-1)
如何对角化
是否可对角化
n：未知数个数，列数
m行数 s列数
D=DT r1↔r2 r1+kr2
