导图社区概率论知识点总结

概率论知识点总结

这是一篇关于概率论知识点总结的思维导图，主要内容有一、随机事件与概率10.16二、随机变量与概率分布三、多维随机变量及其分布四、随机变量的数字特征五、大数及中心极限等。

编辑于2022-07-24 17:04:40

概率
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概率论知识点总结

概要

分布律与分布函数

数字特征

数理统计及应用

一、随机事件与概率10.16

事件及事件间运算

事件

必然事件

不可能事件

样本空间

事件包含与相等

A包含于B，类于A属于B符号方向相同

A与B相互包含

非独立事件

对立事件

互斥事件

互不相容

事件运算

事件并（和）

事件交（积）

事件差A-B

法则

结合律

分配律

交换律

摩根对偶律

事件对立，和积互换

概率，条件概率，独立性，五大概率公式

概率公理与概率性质

事件独立性

事件独立的必要条件公式

独立性质

A-B相互独立的充要条件

条件消除

相互独立是两两独立的充分不必要条件

三个事件以上

两个事件则充要

独立事件其中部分事件独立

独立事件的对立事件也独立

概率五大公式记忆

加

减

乘

条件概率连乘

全概

完备事件组

事件全集，包括事件及其互斥

贝叶斯

古典概型与伯努利概型

古典概型

几何概型

后续分布函数基础

n重伯努利试验

二、随机变量与概率分布

随机变量及其分布函数

分布函数

定义

性质（5）

函数值域性质

单调非减

右连续

P{X<=x},这个就是右连续

分布函数差，定义域左闭右开

任意一点概率为0上下界相同积分为0

离散型与连续性随机变量

离散型

变量定义

可数多个或者可数无穷多个

分布律

分布函数

单调非减

连续型

定义

概率密度f（x），非负可积

不一定连续

但连续，一定可积

分布函数

一定是R上的连续函数

积分域左闭右开

f（x）连续点处分布函数导数等于概率密度函数

常用分布

离散型

几何分布

泊松分布

泊松定理

二项分布的近似公式

X～P（入）

超几何分布

n，N，M

二项分布

X～B（n，p）

0—1分布

概要

分布律

分布函数

连续型

均匀分布

X～U（a，b）

正态分布

定义

分布律

一配平方，二除系数三添因子

X～N（u，^2）

分布函数

标准正态分布

标准化

凑配

对称性质

X～N（0，1）

指数分布

反常积分

无记忆性

X～E（入）

随机变量函数的分布

Y=g（X）

离散型

表格

连续型

公式法

定义法

重点掌握

确定y的值变化对概率的变化，确定定义域

子主题 2

方法

先求Y分布函数

再求导得分布律或概率密度

三、多维随机变量及其分布

二维随机变量及其分布

二维随机变量

转换为平面

二维随机变量分布

立体空间

性质F（x，y）

1. 值0—1

2. 正正极限1，有负极限0

3. x，y单调不减，右连续

F（x，y）=P{X<=x,Y<=y}

4. P｛a<X<=b,c<Y<=d｝=F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c)，结合二维坐标来记忆

离散型

边缘分布律

和y得x

和x得y

条件分布

联合概率分布

连续型

边缘概率密度

积y得x

积x得y

条件分布

概率（联合）分布

随机变量独立性

定义

F（X，Y）=Fx（x)Fy(y)

随机变量相互独立的充要条件

边缘分布律，边缘分布密度独立

二维均匀分布和二维正态分布

均匀分布

概率密度

重要性质

均匀分布面积倒数为概率密度

部分区域的面积比例即为其概率

正态分布

服从二维正态分布，则各自服从一维正态分布

X，Y相互独立的条件为，相关系数为0

（X，Y）服从二维正态分布则，X，Y的线性任意两个线性组合也服从二维正态分布，且线性组合也为服从一维正态分布

约定

X，Y均服从一维正态，且相互独立，即指（X，Y）服从二维正态分布，相关系数为0

两个随机变量函数Z=g（x，y）的分布

离散型与一维类同

X，Y均为连续性随机变量

Z的分布函数求法

Z=X+Y

X/Y

Z的概率密度求法

不独立时

独立时

卷积公式fx*fy

四、随机变量的数字特征

数学期望与方差

期望

定义

离散

级数x*p绝对收敛，此级数为x的数学期望或均值

连续

积分xf（x）绝对收敛则，为数学期望

性质

1.常数不变

2.数乘提出

3.加减可拆

4.独立拆乘

随机变量函数Y=g（X）的期望

积分g（x）f（x）

拆分转换，化成常见分布，代入公式计算

Z=g（X，Y）期望

性质

定义

方差

定义

E｛[X-EX]｝

随机变量与期望的差值的平方的期望值

标准差

性质

1.变量平方的期望大于等于期望的平方

2.常数方差为0，而方差为0，随机变量不一定为常数

x的多组样本波动为0

这几组样本值不一定为同一值

3.D（aX+b）=a^2D（X）

4. 变量独立则，和差拆和

常用随机变量期望与方差

1. 0—1分布

2. 二项分布

3. 泊松分布

4. 几何分布

5. 均匀分布

6. 指数分布

7. 正态分布

矩，协方差与相关系数

矩

k阶原点矩

1阶为期望

k阶中心矩

二阶为方差

X，Y的k阶混合矩

一阶级X，Y均值

X，Y的k阶中心混合矩

二阶X，Y的方差

协方差

定义

Cov（X，Y）=E｛[X-EX][Y-EY]｝

性质

Cov=EXY-EXEY

可换位

可提系数

可任意拆分