高等数学学习笔记

高等数学第二章极限与连续思维导图！内容涵盖了数列的极限、函数的极限、无穷小量与无穷大量、函数极限的运算、两个重要极限、无穷小量的比较、函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。对本块知识迷惑的，点进来学习吧！

极限与连续

• 数列的极限
  • 数列的概念
    • 数列、数列的一般项、通项
    • 单调数列、严格单调数列
    • 有界数列、无界数列
      • 有界数列的几何意义
      • 无界数列的几何意义
  • 数列的极限
    • 极限与发散
      • 描述性定义
      • ε定义
      • 改变数列有限项不能改变数列收敛发散的性质
    • 几何意义
    • 数列极限的性质及收敛准则
      • 唯一性
      • 有界性
      • 保序性
      • 保号性
      • 夹逼定理
      • 单调有界数列收敛准则
• 函数的极限
  • 自变量趋向无穷时的函数极限
    • 定义
    • 定理 limf（x） x->∞=A充要条件 limf（x） x->（-∞）=limf（x） x->(+∞)=A
    • 几何意义、水平渐近线
  • 自变量趋向有限值时的函数极限
    • 定义
    • 几何意义
    • 左右极限
      • 定义
      • 单侧极限与极限的关系
  • 函数极限的性质
    • 唯一性
    • 有界性
    • 保号性
    • 不等式性质
    • 夹逼定理
• 无穷小量与无穷大量
  • 无穷小量
    • f（x）=A+α（x）
    • 定义
    • 有限无穷小量和=无穷小量（同一极限过程）
    • 无穷小量•有界量=无穷小量（同一极限过程）
    • 有限无穷小量积=无穷小量（同一极限）
  • 无穷大量
    • 定义
    • 无穷大量与无穷小量关系
      • 若f（x）无穷大量，则1/f（x）无穷小量
      • 若f（x）无穷小量，则1/f（x）为无穷大量
    • 无穷大量的运算
      • 有限正无穷大量和=正无穷大量 有限负无穷大量和=负无穷大量
      • 有限无穷大量积为无穷大量
      • 非零常量与无穷大量积为无穷大量
      • 无穷大量与有界量积为和为无穷大量 无穷大量与常量之和仍为无穷大量
      • 无穷大量与有界量积不一定是无穷大量
• 函数极限的运算
  • 函数极限四则运算
  • 复合函数的极限
• 两个重要极限
  • lim φ(x)>0 sinφ(x)/φ(x)=1
  • limφ(x)->0[1+φ(x)]^1/φ(x) =e
• 无穷小量的比较
  • 无穷小量比较
    • limα/β=0 则 α=o（β）
    • limα/β=A≠0 则 α=O（β）
    • limα/β=1 则α～β
      • sinx～x
      • tanx～x
      • 1-cosx=1/2x^2
      • arcsinx～x
      • arctanx～x
      • 1+x的n次根号—1～1/n•x
      • ln（1+x）～x
      • a^x-1～xlna（（a^x-1）/x～xlna）
      • （1+ax）^1/n-1～a/n•x
      • 子主题
      • 子主题
    • limα/β^k=A≠0，k>0，α=O（β^k）
  • 等价无穷小量代换
    • limβ/α=limβ’/α’
    • limαz=limβz
• 函数的连续性
  • 函数连续的概念
    • 连续点、间断点
      • U（x0）有定义
      • limx->x0存在
      • limx->x0 f(x)=f(x0)
    • 左连续、右连续
      • 连续与单侧连续的关系
      • f（x）∈（（a，b）） f（x）∈（[a,b]）
      • limΔx->0 Δy=0
    • 局部性概念
      • f（x）在x0去心领域内有定义
      • limx-->x0 f(x)存在
      • limx->x0 f(x)=f(x0)
  • 函数间断点及分类
    • 间断、间断点
      • 第一类间断点
        • 可去间断点
        • 跳跃间断点
      • 第二类间断点
        • 无穷间断点
        • 振荡间断点
  • 连续函数基本性质
    • 连续函数四则运算
      • αf（x）+βg（x）在x0处连续
      • f（x）•g（x）在x0处连续
      • g（x0）≠0，f（x）/g（x）在x0连续
    • 复合函数连续性
    • 反函数的连续性
  • 初等函数连续性
    • 一切初等函数的连续性
    • 初等函数的幂指函数连续性
• 闭区间上连续函数的性质
  • 最值定理
    • 最大值、最小值 最大值点、最小值点
    • 最大值最小值定理
    • 连续则有界推论
  • 零点定理
  • 介值定理
    • 介值定理
    • f（x）取最大最小值之间值推论
  • 共同条件不可削弱