高数）极限与连续概念（持续更新）

这是一篇关于高数）极限与连续概念（持续更新）的思维导图，主要内容有映射与函数、数列、函数极限、无穷小与无穷大、极限运算准则等。

极限与连续（高等数学）

• 映射与函数
  • 映射
    • 要素
      • 三要素:X（非空集合），f（法则），Rf（值域） 其他: Df（定义域），Y（非空集合）
    • 注意
      • x∈X 映射对应的y唯一 Rf包含于Y, Rf≠Y
    • 延伸概念
      • 满射
        • Rf＝Y
      • 单射
        • X1≠X2, f（X1）≠f（X2） 可从X1≠X2，f（X1）＝f（X2）反向理解
      • 一一映射
        • 单射满射
      • 逆映射
        • 单射，每个y∈Rf有唯一的x∈X对应 （若y∈Y则有部分y无x与之对应）
      • 复合映射
  • 函数
    • 要素
      • Df，f 因为是数集（和映射的非空集合区分），定义域为实数值域必为实数，要素不是三个而是两个（相当于值域性质已确定）
    • 四大特性
      • 有界性
        • 上界 下界 有界:存在正数M,－M≤f（X）≤M 无界:存在X1∈X，f（X1）＞M或＜－M
      • 单调性
      • 奇偶性
        • 前提是Df关于原点对称
      • 周期性
        • 并非每个周期函数都有最小周期
  • 特殊函数
    • 反函数
      • 定义
        • 单射
      • 单调（与原函数）
        • 与原函数同增同减 与原函数关于y＝x对称
    • 复合函数
      • 运算
        • 注意定义域为交集
      • 定理证明
        • 任意一个函数均可由一奇一偶相加得到
    • 初等函数
      • 基本初等函数
        • 幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反函数
      • 初等函数
        • 由基本初等函数经过有限次运算与复合得到
    • 反三角函数（反函数引入）
      • 定义
        • 几何
          • 关于y＝x对称
        • 代数
          • 反代
      • 典型函数
        • sin，cos，tan，cot
        • 表达式
        • 域
        • 图像
• 数列
  • 数列极限
    • 定义
      • ε（任意小的距离），N（某项），n，a（极限），Xn
    • 证明极限为定值题型（一般不考）
      • 去绝对值直接证
      • 放缩后证
      • 两边同时对数证
  • 收敛数列
    • 定义
      • 存在极限
    • 性质
      • 极限唯一
        • 反证
      • 一定有界
        • 推论
      • 保号性
        • 推论
          • 某数列某项起＞（≤）0，a＞（≤）0
      • 任意子数列收敛于同一极限
        • 推论
• 函数极限
  • 题型
    • 证明极限问题（少考）
      • 本质
        • 找到一个（即可）δ（凑）
      • 方法
        • 证明模板及图解
  • 注意
    • 在这点（X0）有无定义（如分母为0情况）≠在这点（X0）有无极限
  • 左极限/右极限
    • 表示
    • 是否存在极限证明方法
      • 充要条件
        • f（x）极限存在即左,右极限均存在且相等（与这点是否相等无关）
      • 通用模板证明
        • x→∞（包含+，-）任意ε＞0，存在正数X(找一个)＝_，| x|＞X时，|f(x)-A|<ε (A为极限）
  • 性质
    • 函数极限具有唯一性
    • 局部有界性
    • 局部保号性
      • 指极限与f（x）
    • 数列有极限，函数不一定有极限（类比）
      • 类比子集收敛，全集不一定收敛
• 无穷小与无穷大
  • 无穷小
    • 定义
      • （从正方向或负方向）趋于0，本身是0也称为无穷小。 表达:x→∞或x→X0，f（x）的极限是0，则f（x）是x→X0/x→∞时的无穷小
    • 四则运算性质
      • 无穷小+无穷小＝无穷小 无穷小－无穷小＝无穷小 无穷小×无穷小＝无穷小 常数（包括0）×无穷小＝无穷小 无穷小÷无穷小＝不一定
  • 无穷大
    • 定义
      • 指趋于∞（包括+∞，-∞）
    • 四则运算性质
      • 无穷大+无穷大＝不一定(-∞十+∞) 无穷大－无穷大＝不一定 无穷大×常数＝不一定（0） 无穷大×无穷大＝无穷大 无穷大×无穷小＝不一定（x分之一×x） 无穷大÷无穷大＝不一定
• 极限运算准则
  • 定理1
    • 有限个无穷小之和是无穷小
  • 定理2
    • 有界×无穷小＝无穷小 例:遇到sin，cos时常用
  • 定理3
    • 前提条件:两者极限存在时 1.加减 2.乘 3.除
    • 推论
      • 1.常数（提出） 2.乘方（提出）
  • 定理4
    • 数列
  • 定理5
    • 函数值之间比较推出极限值比较
• 极限存在准则，两个重要极限
• 无穷小的比较
• 函数的连续性和间断点
• 闭区间连续函数的性质