全 高数复习

高数复习大纲知识总结，包括函数 极限 连续、导数与微分、不定积分、定积分与反常积分、定积分的应用、微分方程等等。

高数

第一章 函数 极限 连续

第一章函数极限连续

一、函数的概念及常见函数

1.函数

一对一

2.复合函数

不是任意两个函数都可以复合

3.反函数

一一映射

单调必定有反函数，有反函数不一定单调

湮灭-恒等映射，反函数和原函数

同一函数和图像关于y=x对称

求反函数得题，就是要x把y表示出来

4 初等函数

反对幂指三

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.

二、函数的性质

1.单调性

2.奇偶性

和加减一样

3.周期性

线性----1/a

4.有界性

常考题型与典型例题

1.函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定

2.复合函数

第二节极限

一、极限的概念

1.数列的极限

四条性质

子列和母列的关系

2.函数的极限

有左右极限，其无穷分正负



几何意义

极限和左右极限的关系

需要分左右极限的三种情况！

二、极限的性质

1.有界性

2.保号性

姬无命 极无

3.极限值与花穷小之间的关系

三、极限的存在准则

.夹通作则

多用于求n项和的极限

子主题

2.单调有界准则

求递推关系所定义的极限

子主题

子主题

四、无穷小量

1.无穷小量的概念

2.无穷小的比较

3.无穷小的性质

五、无穷大量

1.无穷大量的概念

2.常用的一些无穷大量的比较



3.无穷大量的性质

4.无穷大量与有界变量的关系

5.无穷大量与无穷小量的关有

常考题型与典型例题

一、极限的概念、性质及存在准则

二、求极限

方法1 利用基本极限求极限

1.常用的基本极限



2.“1∞”型极限常用结论



方法2 利用等价无穷小代换求极限

??? ????

2.常用的等价无穷小



方法3 利用有理运算法则求极限

存在与不存在 极限非o提前提 不等于零，上推下

方法4 利用洛必达法则求极限



方法5 利用泰勃公式求极限



方法6 利用夹通原理求极限

方法7 利用单调有界修则求极限

方法8 利用的定积分定义求极限

第三节函数的连续性

一、连续性的概念



二、间断点及其分类

三、连续性的运算与性质

四、闭区间上连续函数的性质

常考题型与典型例题

第二章 导数与微分

一、导数与微分的概念

1.导数的概念

2.微分的概念

3.导数与微分的几何意义

有导数就会有切线，有切线不一定有导数

微分：曲线切线上的增量

导数：切线斜率

4.连续、可导、可微之间的关系

二、导数公式及求导法则

1.基本知等函数的导数公式

奇函数的导数是偶函数 偶函数的导数是奇函数 周期函数的导数还是周期函数

2.求导法则

复合函数求导法

隐函数求导法

反函数的导数

参数方程求导法

对数求导法

表达式由多个因式乘除，乘幂构成或幂指函数的形式，两边去对数（乘除变加减）再对x求导

三、高阶导数

1.高阶导数的概会

2.常用的高阶导数公式

常考颗型与典型例颗

第四章 不定积分

两个概念

概念与性质

原函数、不定积分【原函数的集合】、不定积分的几何意义【一簇积分曲线（一堆原函数的图像）】

原函数存在定理

连续必有原函数，有元函数不一定连续 有第一类间断点，必没有原函数，第二类可能有

p69有例证【例1】

不定积分的性质

和差可分开 常数可以提

基本公式

三种方法 【不定积分的方法不同，算出来的结果也不同】

1.第一类换元积分【凑微分法】

eg：3

2.第二类换元积分法【记得回头再带回去】

常见的3种变量代换

根号下常数方和x方的加减

3.分部积分法

8类典型

多项式*指数/三角

多项式*对数/反三角

指数*三角

三类常见可积分函数

可积但是上面三种方法算不了

1.有理函数积分【凡有理函数积分都可以积出来】

1.分部法

把分母分解因式，分到不能再分，然后把待定形式射出来，然后拆项，逐步积分

2.加减项拆或凑微分降幂

2.三角有理式积分【凡三角有理式积分都可以积出来】

1.代换tanx/2=t

2.三角变换、换元、分部

3.简单无理数积分【凡简单无理数积分都可以积出来】 【根式里必须是一次的】

令根式=t

第五章 定积分与反常积分

定积分【一个合式的极限】

定义

【注】

1.定积分是一个数值，与取法和分法无关，与f(x)和区间有关

2.

3.入->0和n->0不一样

定积分存在的充分条件

可积必有界，有界不一定可积

定积分的几何意义

性质

性质不等式性质

1.积分不等式

3条，p84

大绝对值小于小绝对值

2.与积分有关的极限【夹逼、缩放】

中值定理

变上限积分【微积分基本定理】 连续函数必有原函数，因为其变上限积分就是其的原函数

推广

定理

7

计算的五种方法

反常积分【对积分取极限】

无穷区间上的

定义

定理 【反常积分的一个重点：收敛发散】

比较判别法

大收小就收 小发大才发

比较判别法的极限形式

比较工具：p积分

做法

1.先初步判定fx的敛散性，

2.根据判断选择扩大或者缩小

无界函数的反常积分

瑕点a

在a的任意邻域都无界

瑕点在两端/在中间

定理【判断敛散性】

做法：

1.先找瑕点

2.对瑕点，p积分

做法【按定义，先算定积分，再求极限】

换元

分部

第六章 定积分的应用

平面图形面积

旋转体体积

曲线弧长旋

转体侧面积

物理应用

压力

变力做功

引力

第七章 微分方程

一阶微分方程

可分离变量的方程

齐次微分方程

分不出fx和gx，则y/x替换

一阶线性微分方程

未知函数极其导数都为一次

以后看到式子里y一阶导和y，想到这个 （这个是套公式的）

可降阶的高阶方程

f（x）型

积分就行

y的二阶导数=f（x，y的一阶导）

看不出y的微分方程

令一阶导=p

里面没有x，只有y和y的导数

y’=p，y”=p·dp／dy

高阶线性微分方程

变系数

四个定理

常系数

齐次

δ>0

δ=0

δ<0

非齐次

指数·多项式

指数·多项式·三角

第八章 多元函数微分学

基本概念

重极限

简单极限要回求

说明重极限不存在的基本方法

连续性

概念【极限求】

性质

和差积商

复合函数

多元基本初等、初等函数

最大值定理

介值定理

偏导数

定义【极限求】

本质：一元函数的导数

对x的偏导数：x在x0的导数

几何意义：

曲面上点m处的切线对x轴的斜率

曲面上点m处的切线对y轴的斜率

注：

偏导数的对称性

高阶偏导数

混合偏导数

二阶混合偏导数，在区域D内连续，两个混合偏导数相等

全微分

全增量 德尔塔z=f（x0+x，y0+y）-f（x0，y0）

全微分 dz=A德尔塔x+B德尔塔y

存在性

必要条件

全微分必有偏导数

充分条件

偏导数在x0，y0处连续，必可微

充要条件

1.存在偏导数

2.满足式子=0

⭐️连续、可偏导、可微、一阶偏导数连续之间的关系

例6经典反例要记住

多元函数的微分法

复合函数微分法

隐函数微分法

题型

复合函数

偏导数

1.定义公式

二阶导数的时候小心写的丢项

2.微分形式不变性（求出全微分，dx，dy前的就是偏导啦）

全微分

1.直接求微分，再带入这个点

2.求出两个导数，乘dx，dy，相加

隐函数

偏导

1.带公式

2.两边求导

3.微分形式不变性

全微分

1.两边式子直接微分

2.求出两个导数，乘dx，dy，相加

复合和原函数的综合

1.把变量关系理清，用公式直接算

2.微分形式不变性

几个式子就做几个微分，然后把不用的消掉

多元函数的极值和最值

无约束极值

极限的必要条件

可导，是极值 则偏导=0

极限的充分条件

ac-b方

求二阶连续偏导数的二元函数极值

条件极值和拉格朗日乘数法

最大值和最小值

内部（找驻点，导数不存在的点）

边界上的最大小点

比较

题

知道全微分，就能知道这个函数本身

1.偏积分

p139

2.凑微分

处理边界问题

1.拉格朗日定理

2.化条件为无条件

1.直角坐标下

2.参数方程

第九章 二重积分

概念

几何意义

fx=1

面积

不等于1

体积

性质

三个不等式性质

中值定理

二重积分的计算

1.利用直角坐标的计算

2.利用极坐标

由被积函数和定义区间决定

3.利用奇偶性

关于x对称，对y有奇偶性

关于y对称，对x有奇偶性

4.利用变量的轮换对称性

定义域关于y=x对称，x和y对换，结果不变

题

累次积分交换次序

普通

1.先画域

对于两个相加的累次积分，画域的时候话在一个坐标系下

2.定项

极坐标换直角坐标

1.画域（根据r=cos0.....）

2.根据域直接带着fx定项

累次积分计算

直接算

边次序算

化极坐标算

先对x或先对y都不好算

二重积分排大小

需要分左右极限的三种情况

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