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编辑于2019-12-06 16:32:47高等数学
微分学
2.导数与微分
概念
定义
左右导数存在且相等为可导
可导一定连续,反之不然
几何意义
切线斜率
运算
求导法则
可导函数和差积商亦可导
反函数导数等于直接函数导数的倒数
复合函数链式法则
求导公式
高阶导数
莱布尼兹公式
隐函数求导
两边同时对自变量求导
幂指函数常用对数求导法则
参数方程求导
变限积分求导
函数的微分
几何意义
非线性函数局部线性化
可导与可微
互为充要条件,可互推
应用
近似计算
增量近似值
函数近似值
误差估计
3.微分中值定理与导数运用
微分中值定理
罗尔定律
费马引理
条件
闭区间连续,开区间可导,区间端点处函数值相等
结论
区间内存在一点,使
拉格朗日中值定理
条件
闭区间连续,开区间可导
结论
柯西中值定理
条件
闭区间连续,开区间可导
结论
洛必达法则
未定式求极限
泰勒公式
麦克劳林
单调性与凹凸性
单调性(一阶导)
单调增减分界点
驻点
一阶导数不存在
凹凸性(二阶导)
判别
上凹
二阶导大于0
上凸
二阶导小于0
凹凸分界点
拐点
二阶导数不存在
最值与极值
极值
概念
局部最值
定理
必要条件
在某点可导且取得极值,则此点导数为0
第一充分条件(一阶导)
导数在该点单调且为零,该点则为极值
第二充分条件(二阶导)
在该点一阶导为0,二阶导不为0,则取得极值
最值
端点
极值点
曲率(弯曲程度)
弧微分公式
曲率公式
曲率半径
7.微分方程
概念
解、阶、通解、特解、初值问题
一二阶线性方程
解的叠加原理
齐次特解1+齐次特解2=齐次方程通解(线性组合)
非齐特解1-非齐特解2=齐次特解
非齐特解+齐次特解=非齐通解
通解(即所有解)的结构
非齐次通解=齐次通解+非齐次特解
齐次方程的两个线性无关的特解合为齐次方程的通解
线性微分方程的通解即为其所有解
解法
一阶微分方程
基本类型
可分离变量的微分方程
分离变量法
分离变量后两边积分
一阶线性方程
积分因子法
凑乘法法则求导逆过程,再两边积分
该方法也常用于中值定理的证明题
公式法
积分因子法所得公式的直接调用
常数变易法
分离变量法求相应齐次方程的通解
令c为c(x),将y代入原非齐次方程,积分求出c(x)
全微分方程
满足条件
求原函数法
特殊路径积分法
积分区域的确定
不定积分法
P(x,y)对x积分后对y求导,应等于Q(x),求得C(y)
凑微分法
最简单快捷的方法,但凑微分的过程有一定技巧性
可化为基本类型
齐次方程
y/x换元u,乘法法则求导,分离变量后积分,最后换元回去即可
伯努利方程
可用简单的变量替换求解的某些方程
齐次方程
伯努利方程
自变量与因变量互换
不为0,解线性方程
为0
二阶微分方程(或高阶)
二阶线性常系数方程
齐次
(特征方程)
(判别式)
非齐次
f(x)的形式
可降阶类型
n次积分
不显含y的二阶方程
不显含x的二阶方程
特殊的二阶线性变系数方程--欧拉方程
化为n阶常系数线性微分方程
可化为求解微分方程情景(含变限积分)
将方程求导,转化为求解相应的微分方程的通解或微分方程初值问题的特解
有的需要先通过变量代换转化为含变限积分的方程,然后求解
简单应用及列方程
利用定积分的几何意义列方程
面积,弧长,体积,形心等
利用导数的几何意义列方程
一阶导数的几何意义是曲线切线的斜率,二阶导的几何意义体现在曲率上
利用变化率满足的条件列方程
如温度
利用牛顿第二定律列方程
外力f只依赖时间t及速度v
外力f只依赖唯一y及速度v
利用微元分析法或相应的变限积分法列方程
9.多元函数微分学
核心思想
一元函数到二元再到多元的推广
研究二元函数的主要方法之一是将它转化为一元函数
注意部分性质的不同, 一元函数是单方向的,二元及多元是多方向的,,某些性质不同
概念
多元函数、 二元函数的极限与连续性,有界闭区域上连续函数的性质
二重极限
P (x,y) 以任何方式趋于某点时,f(x,y)都无限接近于A
以不同的方式趋于某点,f(x,y)趋于不同的值, 则函数极限不存在
极限运算与一元函数运算法则类似, 证不存在, 找一个例子即可
连续性
极限存在旦等于函数值,同一元函数。 反之,若函数连续,极限值就等于函数值, 可 直接代入法求解极限值
一切多元初等函数在其定义域内是连续的
有界闭区域上连续函数的性质
有界性与最大值最小值定理
有界闭区域上函数必有界, 旦能取得它的最大最小值
介值定理
有界闭区域上的多元连续函数必取介于最大值与最小值之间的任何值
偏导数, 万向导数, 可徵性与全微分的定义
偏导数
求哪个函数的偏导就把哪个当做自变量, 其他视作常量
偏导数本质上是一元函数的导数
几何意义
曲面与常呈平面的交线在该点处对自变量轴切线的斜率
可微性与全微分
定义
全增量
叠加原理
二元函数的全徵分等于它的两个偏微分之扣
可微分的条件
必要条件
各偏导数均存在
一元函数在某点的导数存在是微分存在的充要条件,多元不一样
充分条件
z=f(x,y)的备偏导数在点 (x,y)连续
应用
基本概念之间的联系
一元函数
二元函数
计算
求初等函数的偏导数与全微分
偏导数的计算
归结为求一元函数的导数
分段函数
按定义
在连续的条件下求偏导数的极限,极限值等于函数值
高阶偏导数/混台偏导数与求导次序无关问题
若函数两个二阶混合偏导数都在区域上连续, 则在区域内二阶混合偏导数与求偏导的先后次序无关
求在某点的偏导函数,先带入,相应的一元函数的导数往往更筒单
全微分的计算
叠加原理
微分法则
全微分四则运算法则
类比求导运算法则,本质相同,形式不一样而已
复台函数求导法与一阶全微分形式不变性
复合函数求导法则
插项,链式法则
多阶易漏项及求导混乱,用记号表示
应用
隐函数微分法
变量代换下方程的变形
极坐标变换下的拉普拉斯方程
多元函数问题转化为一元函数问题
二元函数的泰勒公式
一阶全微分形式不变性
无论u和v是中间变量还是自变量,函数z=f(u,v)的全微分形式是一样的
不易出错,应掌握
求梯度与方向导数
方向导数
梯度
一个向量,方向是函数在该点的方向导数最大的方向,模是最大方向导数的值
应用
几何应用
曲面的切平面与法线
空间曲线的切线与法平面
类比一元函数,导数变为相应偏导
最值问题
简单极值问题的解法
极值和驻点
极值
某领域的最值点,极大值与极小值统称为极值,点统称为极值点
多元函数唯一极值点不一定是最值点
取得极值的条件
充分条件
函数在某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导,且各一阶偏导为0,由二阶导判断
必要条件
函数在某点处具有偏导数,且在该点取得极值,则它在该点的各偏导数必然为0
驻点
凡能使各偏导等于0同时成立的点称为驻点
极值点必然是驻点,但驻点不一定是极值点
性质同一元函数
条件极值问题的解法
拉格朗日数乘法
步骤统一,计算量较大
化为无条件极值
解出一个未知量代入原方程,化为相应一元函数的最值问题
最值问题
最值点
驻点,偏导数不存在的点,边界点
极值问题基础上,多两类点函数值的比较
二元函数极值的判别法
积分学
4.不定积分
5.定积分
概念
定义
和式极限
解决一类可利用定积分定义化为积分和求解的极限题
可积性
区间上连续
区间上有界且只有有限个间断点
只与被积函数及积分区间有关,与积分变量的记法无关
几何意义
曲边梯形的面积
变速直线运动的路程
基本性质
线性性质
可为任意有限函数线性组合
区间可加性
证明题
绝对值函数,分段函数,定义不连贯
被积函数为1
保号性
估值性质
证明题
绝对值性质
积分第一中值定理
介值定理
常用公式
区间再现
周期性
连续奇函数的原函数都为偶函数,反之不然
积分上限函数及其导数
计算方法
积分公式
牛顿-莱布尼兹公式
其它方法
换元法(必换限)
三角代换(平方)
根号整体代换(去根号)
倒代换(分母去高次)
幂指函数代换
凑
凑平方项
凑微分
拆
因式分解
利用性质
区间对称性
被积函数奇偶性
区间可加性
周期性
证明题常用
换元
被积函数的区别
上下限的变换
换名
定积分的值与积分变量名无关
点火公式
反常积分
定义
无穷限的反常积分
无界函数反常积分
有瑕点(无界间断点)
计算
积分法则+极限计算
反常积分不能用定积分的对称性
瑕积分形如定积分,应警惕
伽玛函数
定义
常用
6.定积分的应用
概念
元素法
几何应用
求面积
直角坐标
选积分变量,得面积元素,计算定积分
平方项换元参数方程简化计算
极坐标
圆扇形
求体积
旋转体
绕X轴
绕Y轴
平行截面面积已知的立体体积
求弧长
参数方程
直角坐标
极坐标
物理应用
变力做功
液体压力
引力计算
质心形心
10.11.多元函数积分学
概念与性质
各类积分定义及物理/几何意义
重积分
一重积分
曲边梯形的面积,1为底边长
二重积分
曲顶柱形体积,1为底面积
三重积分
三维物体质量,1为物体体积
曲线积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
二重
曲面积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
三重
两类曲线/曲面积分的关系
曲线积分
可推广到空间
其中cos为有向线段L在(x,y)的方向余弦
曲面积分
其中cos为有向曲面在(x,y,z)的法向量的方向余弦
性质
线性性质
积分区域可加性
比较定理(是否取等)
积分中值定理
第一中值定理
第二中值定理
连续非负函数的积分
应用
几何应用
面积,体积
物理应用
质量,质心形心,流量,引力,功
计算
公式
直角坐标系中化为定积分
曲线积分
一二类曲线积分化定积分
直角坐标
参数方程
极坐标
二重积分化为二次定积分
先x后y
先y后x
穿线
三重积分化为定积分加二重积分
先一后二
先二后一
投影
曲面积分
第一类曲面积分化为二重积分
第二类曲面积分化为一类曲面积分再化为二重积分
重积分的变量替换
二重积分极坐标变换
面积元素
三重积分柱坐标变换
体积元素
三重积分球坐标变换
体积元素
技巧
分块积分法
积分区域分段
积分函数分段
需要分块才能将重积分化为累次积分
选择积分顺序
二重积分
根据积分区域的类型和被积函数的特点
避免分块
三重积分
先二后一
先一后二
变量替换法
极坐标
圆,环,扇
球面坐标
球体,椎体
柱面坐标
旋转体
利用对称性和奇偶性
普通对称性和轮换对称性
奇函数为0偶函数2倍
利用线面方程简化被积函数
面积分选择投影方向
各类积分相互转换
格林公式
复杂的第二类曲线积分转化为二重积分或简单的第二类曲线积分
封闭与否
高斯公式
封闭与否
复杂的曲面积分转化为三重积分或简单的曲面积分
斯托克斯公式
简化曲线积分计算
利用第一二曲线/曲面积分的关系
曲线积分与路径无关及全微分式的原函数
在D区域与路径无关的等价条件(满足任意一个)
P,Q在D连续
P,Q在D上有连续偏导,且D单连通
求全微分Pdx+Qdy的原函数方法
不定积分法
特殊路径法
凑微分法
积分与路径无关时简化计算
求原函数
取特殊路径
1.函数与极限
数列与函数极限
数列的极限
定义
收敛
极限存在
发散
无穷大
摆动
收敛数列的性质
唯一性
存在即唯一
有界性
数列收敛必有界,反之不然
无界一定发散,有界未必收敛
狄利克雷函数
分段函数
震荡函数
保号性
子数列性质相同
函数的极限
定义
自变量无限趋近但无法到达,故为去心领域
极限值与函数值关系
函数是否有极限,与函数在该点是否定义无关
函数值与极限值未必相等
相等则连续
初等函数皆连续,故可带入求极限
渐近线
水平渐近线
自变量趋于无穷,极限趋于常数a
垂直渐近线
自变量趋于点a,极限趋于无穷
斜渐近线
斜率介于以上两者之间
性质
唯一性
局部保号性
局部有界性
定义在去心领域,故为局部
连续性与间断点
连续性
定义
极限存在且等于函数值
运算
连续函数的和差积商都连续
初等函数皆连续
性质
有界性与最大值最小值定理
零点定理与介值定理
间断点
第一类间断点(左右极限皆存在)
左右极限相等
可去间断点
左右极限不等
跳跃间断点
第二类间断点(其他)
无穷间断点
震荡间断点
极限运算
两个重要极限
单调有界必有极限
夹逼准则
常用等价无穷小
向量代数及空间解析几何
向量代数
向量的基本概念及表示法
模、单位向量、零向量、共线共面向量、方向角、方向余弦,方向数
向量的坐标,长度,方向的确定
运算
加法
数乘向量
向量的数量积
应用
求模,进而求两点距离
求两个向量的夹角,进而求线线、线面、面面之间的夹角
判定垂直,数量积为0,进而可证两直线、两平面的垂直关系及线面的平行关系
求点到平面的距离
建立点法式平面方程
向量的向量积
应用
求平行四边形(三角形)面积|a*b|,进而求点到直线的距离
判断平行(坐标成比例)
求两平面交线的方向向量
混合积
应用
判断三个向量(或四个点)是否共面
共面混合积为0
利用平面内一定点+两个不平行的向量,可利用混合积为0建立平面方程
求以a,b,c为三条棱的平行六面体的体积
判断两条直线是否异面,并求两异面直线公垂线的长
可建立异面直线公垂线的一般方程(交面式)
运算法则
交换律,分配率,结合律
空间解析几何
平面与直线
求平面与直线方程
平面方程
基本形式
点法式,一点一法向量
一般式,待定系数法
向量式,过一定点与两不平行向量都平行的平面方程
参数式
基本思路
找一点一法向量,列点法式方程
找一点两不平行向量,用混合积为0
由两不平行向量向量积运算即可得法向量,可列点法式。混合积只是将这一过程一并处理,本质与法一一样
直线方程
基本形式
交面式
两平面向量的又积即为直线方向向量
参数式
令对称式=t,即化为参数式
对称式
一点+方向向量
基本思路
两个不平行的平面相交于一条直线
已知一点一方向向量可确定直线方程
判断平面与直线位置关系
直线间或平面间的关系
平行
法向量/方向向量成比例
垂直
数量积为0
夹角
直线与平面的关系
平行
方向向量与法向量垂直,数量积为0
垂直
方向向量与法向量平行,向量成比例
夹角
直线与平面的夹角,是方向向量与法向量夹角的余角
点到平面/直线的距离
两点之间
点线之间
点面之间
曲面与曲线
曲面与曲线的概念及表示法
柱面与旋转面方程的求法
柱面
母线与准线
母线平行哪个轴,就与哪个轴变量无关
准线方程均为圆
旋转面
曲线与旋转轴
绕什么轴旋转,变量就与什么无关
二次曲面的标准方程及其图形
椭球面、椭圆抛物面、单叶双曲面、二次锥面、双曲柱面、旋转抛物面、双曲抛物面、双叶双曲面、椭圆柱面、抛物柱面
空间曲线在坐标平面下投影的方程
求哪个面上的投影方程,就消去与之垂直轴使之为0且得到f(x)=0,联立方程即为投影曲面方程。如消去Z则得到在xoy平面的投影曲线方程,
无穷级数
常数项级数
概念及性质
部分和
性质
级数收敛则有一般项为0,反之不成立
该性质可用于求极限
收敛级数的线性运算
收敛+收敛=收敛
收敛+发散=发散
发散+发散=?未知,需具体讨论
收敛级数的结合律
若级数收敛,则不改变其项的次序任意加括号,新级数仍收敛。
反之不成立,如交错级数
加括号后发散,原级数必发散
一般项为0,且加括号后收敛,原级数必收敛
级数的敛散性与其有限项无关
在级数中添加或去掉有限项不影响级数的收敛性
几个重要级数
几何级数
P级数
一个常用级数
判别敛散性
按定义
收敛的必要条件
部分和有界
收敛性判别法则
正向级数
比较判别法
大收小,小发大,同敛散。
比值根值判别法(达朗贝尔判别法)
原理
单减有下界必收敛,单调递增则无界必发散
说明
=1时判别法失效,需另寻它法
根值判别法与比值判别法没什么不同,只不过适用于幂指函数的时候
变号级数
交错级数
莱布尼兹判别法
单减
一般项趋于0
单调有界必收敛
任意项级数
绝对收敛与条件收敛的定义
|u|收敛,则u必收敛;|u|收敛,而u发散,则u条件收敛;u发散,ul必发散
关于绝对收敛与条件收缴的基本结论
绝对收敛的级数一定收敛
用比值根值判别法得出|u|发散,则u必发散
条件收敛级数的全部正项(或负项)构成的级数一定发散
级数的性质
添加括号,分解法等
分解为两个或某几个级数分别判断再线性相加
积分判别法
利对应于反常积分部分内容
求和法
按定义,转化为幕级数求和
幂级数
幂级数收敛性的特点
阿贝尔定理
收敛点确定收敛区间
存在收敛区间与收敛半径
收敛半径左右展开则为收敛区间
收敛区间与收敛域
收敛区间是开区间,收敛域在收敛区间的基础是考虑端点情况
R为收敛半径,则该幂级数在(-R,R)内绝对收敛
使幂级数条件收敛的点只可能在收敛区间的端点上
求幂级数(及一般函数项级数)收敛域的方法
先用比值法(根值法)求收敛半径得收敛区间,再考虑收敛区间端点的敛散性
逐项求导或逐项积分保持收敛半径不变对某些情形用幂级数的特点
幂级数和函数的性质
两级数的公共收敛域内可进行加减乘的线性运算
两级数相加之后,收敛半径取小值
和函数在收敛区间内可导,并且有逐项求导公式,同时求导后的幕级数的收敛半径不变
收敛域D上和函数连续,且有逐项积分公式,且逐项积分后收敛半径也不变
幂级数求和与求函数幕级数展开式的方法
直接法
求泰勒展开系数且证明拉格朗日余项=0
对求幂级数的和函数来说,就是求它的部分和极限
间接法
五个简单函数的释级数展开式
分解法
分解为易于展开的幂级数,各个击破,再作整合
变量替换
逐项求导与积分
收敛半径不变,收敛域可能发生变化,因此还需验证展开式在收敛区间的端点是否成立
应用
数值级求和
傅利叶级数
概念
三角函数的正交性
傅里叶级数的收敛性
狄利克雷收敛定理(充分条件)
连续,或只有有限个间断点,且都是第一类间断点
只有有限个极值点
周期与非周期函数的傅里叶级数
奇函数(包括经奇延拓的函数)
偶函数(包括经偶延拓的函数)
函数f(x)的傅里叶级数展开式
题型
求定义在[-l]上函数的傅里叶级数
求定义在[0,]上函数的正弦或余弦函数
已知函数表达式求它的傅里叶级数和函数的表达式