函数与极限

函数极限的概念 在高数中，函数极限的含义就是自变量无限趋近而不取到某值时，因变量的变化情况。 比如在正切函数中，正切函数的自变量x不能取到П/2，但是可以无限趋近П/2。 从正切函数图形中可以明显发现，自变量x可以从两个方向无限趋近П/2，即分别从П/2的左边和右边趋近。

函数与极限

• 映射与函数
  • 映射
    • 像，原像
    • 单射，满射，双射
    • 逆映射（需要原映射为单射）
    • 复合映射
  • 函数
    • 定义域，对应关系
    • 例如：绝对值函数，y=sgnx
    • 性质
      • 有界性
        • 完备性公理
      • 单调性
        • 一般为严格单调
      • 奇偶性
        • 定义域，f（-x)
      • 周期性
        • 周期函数不一定有最小正周期
    • 反函数
      • 单调函数的反函数一定存在
      • 单增函数的反函数也单增
      • 解析式中xy对调
      • 原函数与反函数关于y=x对称
    • 复合函数
      • 内函数的值域是外函数的定义域
      • 反解问题
        • 拼凑
        • 换元带入
    • 函数运算
      • 加减乘除
    • 初等函数
      • 基本初等函数:幂指对三角反三角
      • 初等函数=基本初等函数经过有限次四则运算，有限次复合
• 数列的极限
  • 定义
    • 距离要多小有多小
    • 利用ε去求N
  • 性质
    • 极限唯一性
      • 赋值ε
    • 收敛数列有界性
    • 收敛数列保号性
      • Xn与极限A同号
      • 推论
    • 子列
      • 收敛数列的子列一定收敛，且两者收敛于同一个极限
      • 一般用于证明数列极限不存在，且原数列一般为明显分奇偶的
      • 若一个数列奇偶子列都收敛于同一个值，则原数列收敛于该值
• 函数的极限
  • 定义
    • 在去心邻域内
  • 水平渐近线
    • 双边
  • 性质
    • 函数极限唯一性
    • 函数极限的局部有界性
    • 函数极限的局部保号性
    • Heine定理
      • 常用于证明函数极限不存在
      • 一般原函数中含有三角函数
• 无穷小与无穷大
  • 无穷小
    • 极限为零
    • f(x)有极限等价于f(x)等于极限加无穷小
  • 无穷大
    • 定义
      • 大于任意正数
    • 铅直渐近线
      • 双边
    • 与无穷小关系
      • 无穷大不太好叙述，转化为无穷小
• 极限运算法则
  • 两个无穷小之和为无穷小
  • 有界*无穷小为无穷小
  • 常数*无穷小为无穷小
  • 有限个无穷小相乘是无穷小
  • 加减乘除，数乘，n次方
  • 数列类比
  • 函数大，极限大
  • 有理整函数，有理分式函数某一点极限直接带入
  • 复合函数极限等于内函数先求极限，还原，外函数再求新元的极限