概率论与数理统计——随机变量的数字特征

对于概率论与数理统计中的随机变量的数字特征进行了知识点总结归纳，包括：数学期望、相关系数与相关阵、方差。

随机变量的数字特征

数学期望

绝对收敛是期望存在的充要条件

离散型

连续型

几种常见随机变量的数学期望

0-1分布

EX=p

X~P(n,P)

EX=np

X~P(λ）

EX=λ

均匀分布X~U(a,b)

指数分布X~e（λ）

EX=1/λ

正态分布

EX=μ

设Y是X的函数，Y=g(X)为连续函数

X为离散型r.v

X为连续型r.v

设（X,Y)是二维随机向量，g（x，y）为二元函数且连续

(x，y)为离散型r.v

(x,y)为连续型r.v

四条性质

（1）EC=C,C是常数

（2）E(CX)=CEX，C是常数

（3）E(X+Y)=EX+EY

（4）X,Y相互独立时，EXY=EX·EY

条件数学期望

相关系数与相关阵

协方差

X、Y相互独立，Cov（X,Y)=E{(X-EX)(Y-EY)}

（1）Cov（X,Y)=EXY-EXEY

三条性质

（1）Cov（X,Y)=Cov=（Y，X)

（2）Cov（aX，bY）=abCov(X,Y)

(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)

特别地

X,Y独立时，Cov（X,Y)=0

Cov（X,X)=DX

Cov（C,X)=0

相关系数

矩与相关阵

方差

有些随机变量没有方差

方差是X的函数g(X)=E(X-EX)²的数学期望

离散型

连续型

几种常见随机变量的方差

0-1分布

DX=pq

X~B(n,P)

DX=npq

X~P(λ）

DX=λ

X~U(a,b)

正态分布

X~e（λ)

五条性质

（1）DC=0，C是常数

（2）D(CX)=C²DX，C是常数

（3）DX<E(X-C)²

（4）X,Y相互独立，则D(X+Y)=DX+DY

（5）DX=0的充要条件P{X=C}=1