级数题型

这是一篇关于级数题型的思维导图，主要内容有常数项级数敛散性的判断、常数项的收敛域缺陷级数、展开问题、求和问题（反展开问题)等。

级数

• 常数项级数敛散性的判断
  • 正项级数
    • 根植法
      • 比值和根植法是比较简单的方法，这是因为这两种方法只需要一个级数公式就可以判别敛散性
      • 比值和根植法是比较简单的方法，这是因为这两种方法只需要一个级数公式就可以判别敛散性
    • 比值判别法
    • 比较判别法
      • 不等式
        • 了解常用的不等式，找到一个收敛或发散的级数，根据定理的不等号方向来验证该级数收敛或发散。如，判断收敛应该找一个比原级数大的收敛级数
      • 比值求极限
        • 一般情况下，寻找一个和原级数相除后有极限的的级数，通常都是比较熟知的例如调和级数来判断。
    • 积分判别法
  • 交错级数
    • 莱布尼兹判别法
      • 比较特殊的是三角函数
    • 判别调和级数条件收敛和绝对收敛
    • 非莱布尼茨可用
      • 分母和分子都有-1的n次项
  • 任意项级数
• 常数项的收敛域缺陷级数
  • 分辨出非缺陷级数
  • 根植判别
  • 比值判别
• 展开问题
  • 公式的运用
    • x的平移
    • 缺项
      • 乘法缺项
      • 加法缺项
        • 加法缺项在n的个数上开始讨论
  • 求导和积分
    • n在分母凑导师
    • n在分子凑积分
• 求和问题（反展开问题）
  • 公式的变形
    • x的平移
    • 缺项
    • 隐藏x
  • 求导和积分
    • 当出现n的平方或立方，考虑可能要使用多次求导或积分
    • 多项式在分子
      • 先积分后导数
    • 多项式在分母
      • 先导数后积分
    • 分子分母都有多项式
      • 拆分后再讨论
  • 先求出An，在进行求和
• 建立微分方程并求导和函数
  • 建立方程，从一阶导、二阶导、原函数中寻找关系，如相等
• 1、x的平移和求导不会改变半径，An改变才会改变半径；2、求完半径还要验证两边的点是否去得到
• 题型
  • 运用极限的知识；例如等价无穷小，泰勒公式
  • 不等式：常见的有：分母的不等关系，常用不等式