函数、极限、连续

这是一篇关于函数、极限、连续的思维导图，主要内容有1.极限的概念:、性质及存在准则2.求极限3.确定极限中的参数4.无穷小量阶的比较(排序题)等。

函数、极限、连续

• 函数
  • 1. 复合函数
  • 2. 函数性态
    • 1. 单调性
      • 一阶导函数>0不能推出领域单调，但领域其他地方函数值＞该点
    • 2. 奇偶性
    • 3. 周期性判定
      • 1. 用定义
      • 2. 可导的周期函数其导函数为周期函数
      • 3. 周期函数的原函数不一定是周期函数（例：1+cosx）
    • 4. 有界性判定
      • 1. 用定义：存在M>0,任意x<I，f(x)的绝对值≤M，则f(x)在I上有界
      • 2. 闭区间连续
      • 3. 开区间连续且左端点右极限存在，右端点左极限存在
      • 4. 导函数在有限区间有界→该函数有界
• 极限
  • 1. 极限的概念、性质及存在准则
    • 1. 性质
      • 1. 局部有界性：极限存在，局部领域有界
      • 2. 保号性设limf(x0)=A
        • A>0→f(x)>0
        • f(x)≥0→A≥0
      • 3. limf(x)=A等价f(x)=A+无穷小
    • 2. 存在准则
      • 1. 夹逼准则，用于”n项和“
        • 常用不等式
          • 1. 2ab≤a2+b2
          • 2. sinx<x<tanx
          • 3. x/(1+x)<ln(1+x)<x
          • 4. 1+x≤e的x次方
      • 2. 单调有界准则，用于递推关系
        • 收敛等价于有极限
  • 2. 求极限
    • 0/0型
      • 1. 洛必达
      • 2. 等价无穷小
      • 3. 泰勒
      • 4. 中值定理
        • 1. 拉格朗日
        • 2. 积分中值定理
        • 3. 第二积分中值定理
    • 无穷/无穷型
      • 1. 洛必达
      • 2. 分子分母同÷最高阶无穷大
    • 无穷-无穷
      • 1. 通分化0/0
      • 2. 根式有理化
      • 3. 提无穷因子，等价代换、泰勒公式
    • 1的无穷次方
      • 1. 凑基本极限
      • 2. 改写为指数
      • 3. 利用结论
    • 数列极限
      • 1. 不定式
        • 改写为函数极限
      • 2. n项和的数列极限
        • 夹逼原理
        • 定积分定义P31
        • 级数求和P33
      • 3. n项连乘的数列极限
        • 夹逼原理
        • 取对数化为n项和，然后夹逼或用定积分定义
      • 4. 递推关系
  • 3. 确定极限中的参数
    • 1. 正推
    • 2. 反推：由问题凑条件
    • 3. 特殊函数法
  • 4. 无穷小量阶的比较(排序题)
    • 两两比较
    • n(m+1)阶
    • 定阶
• 连续
  • 1. 讨论连续性及间断点类型
  • 2. 介值定理、最值定理及零点定理的证明题