线性方程与数组

线性代数第一章线性方程与数组的思维导图，主要内容有线性方程组和矩阵、阶梯型矩阵和相容性方程组、相容性方程组及其解的可能、矩阵的运算。

线性方程与数组

• 线性方程组和矩阵
  • 线性方程：形如a1x1+a2x2+…+anxn=b
  • 方程组至少有一个解则称它是个相容的，方程组无解则称它不相容
  • 对角线元素下方全为零，则称上三角矩阵，对角线元素上方权威零，则是下三角矩阵
  • 对角线元素以外的元素全为零的矩阵称谓对角矩阵
  • A是系数矩阵，（A|b）是增广矩阵
  • 利用初等行变换可以解方程组
• 阶梯型矩阵和相容性方程组
  • 阶梯型矩阵：完全满足由0组成的行（零行）集中在矩阵最下方，如果第i+1行由非零元素，那么第一个非零元素所在列位于第i行第一个非零元素的右侧
  • 简化阶梯矩阵：对一个阶梯矩阵如果每一行非零行的第一个非零元素都是1，且非零首元1都是它虽在列的唯一非元素，则称该矩阵为简化阶梯矩阵。
• 相容性方程组及其解的可能
  • 1（B|d)是不相容的，当且仅当（B|d)中有一行，其形式为（0，0，0，…，0，1）
  • 2 对于一个简化阶梯性矩阵m×（n+1），如果r（r为首元为1的个数）<n，有无穷个解，如果r=m，则有唯一的解。
  • 3 齐次线性方程总是相容的，解的个数可根据2判断
• 矩阵的运算
  • 1 矩阵的加法必须满足两个矩阵的规模相同
  • 2 矩阵的乘法,A是m×n的矩阵，B是r×s的矩阵，AB必须满足n=r
  • 3 矩阵的乘法不满足交换律
  • 4 矩阵的转置，用T表示转置，记住转置运算规律
• 分块矩阵
  • 把大矩阵分成小矩阵
  • 对于大矩阵AB，划分时，A列=B行
• 可逆矩阵
  • 对于n阶矩阵A，存在n阶矩阵B使得 AB=BA=I
  • 单位矩阵I可逆，零矩阵0不可逆
  • 可逆矩阵的性质
  • 求可逆矩阵，用初等行变换
  • 利用逆矩阵求解线性方程组 Ax=b→x=A的逆b