概率统计第二章

概率统计第二张总包括七个小节。随机变量及其分布，随机变量的数学期望，随机变量的方差与标准差，常用离散分布，常用连续分布，随机变量函数的分布，分布的其他特征数。

概率统计第二章

• 2.1 随机变量及其分布
  • 随机变量的概念
    • 引入随机变量：将非数量的随机事件数量化
    • 离散~：随机变量所取得可能值是有限个或无限可列个 连续~：随机变量所取的可能值充满整个区间
  • 分布函数
    • 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P{X<=x} 称为X的分布函数，记为X~F(x)
      • 例题：抛硬币
    • 性质：单调性、有界性、右连续性
    • 重要公式
  • 分布列与概率密度函数
    • 离散随机变量的分布列
      • 表格形式：X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn …
      • 基本性质:非负性 p(xi)>=0 , 正则性
    • 连续随机变量的概率密度函数
      • 定义：设连续随机变量X的分布函数为F(x),若存在非负可积函数p(x)，使得对任意实数x,有如下，则称p(x)为X的概率密度函数
      • 基本性质:非负性p(x)>=0，正则性
      • 说明
        • 连续随机变量X的分布函数F(x)是（-无穷，+无穷）的连续函数
        • F(x)在有限个点上不可导，除此之外，有
        • 连续随机变量X仅取一点值的概率恒为0，即p(X=a)=0
• 2.2随机变量的数学期望
  • 离散随机变量
    • 定义
      • 设离散随机变量X分布列为p(xi)=p(X=xi),i=1,2,...,n, 如果有如下，则有X的数学期望
    • 数学期望：
  • 连续随机变量
    • 定义
      • 设连续数学期望变量X的密度函数为p(x),如果有如下，则有X的数学期望
    • 数学期望：
  • 随机变量函数的数学期望
    • 定理：若随机变量X 的分布用分布列p(xi)或用密度函数p(x)表示，则X的某一函数 g(X)的数学期望如下
    • 数学期望：
  • 数学期望的性质
    • 1.设C是常数，则有E(C)=C
    • 2.设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)
    • 3.对任意两个函数g1(x)和g2(x),有E[g1(x)+g2(x)]=E[g1(x)]+E[g2(x)]
• 2.3随机变量的方差与标准差
  • 方差与标准差
    • 方差：设X是一个随机变量，若E(X2)存在，则称Var(X)为随机变量X的方差，有
      • 方差越大，分布越分散，E(X)代表性差
    • 标准差：称方差的正平方根记为随机变量X的标准差，有
  • 方差的计算
    • 定义计算
      • 离散场合:
      • 连续场合:
    • 计算公式：
  • 方差的性质
    • 1.常数的方差为0，即Var(c)=0,其中c为常数
    • 2.若a,b是常数，则
  • 随机变量的标准化
    • 去量纲
    • 设Var(X)>0,令 则有E(X*)=0，Var(X*)=1 称X*为X的标准化随机变量
  • 切比雪夫不等式
    • 设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对于任意正数ε>0,有
    • 几何意义
      • 定理：若随机变量X的方差存在，则Var(X)=0的 充要条件是X几乎处处为某个常数a， 即p(X=a)=1
      • 说明：方差为0意味着随机变量取值集中在一点
• 2.7分布的其他特征数
  • k矩阵
  • 分位数：设连续随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为p(x),对任意p(0<p<1),称满足条件如下的xp为此分布的p分位数，又称下侧p分位数
  • 中位数：称p=0.5时的p分位数x0.5为中位数
  • 中位数与均值
• 2.6随机变量函数的分布
  • 离散~：1.当X为离散随机变量时，Y=g(X)为离散随机变量 2.先计算出yi=g(xi)的分布 3.再将相等的值合并，得出Y=g(X)的分布
  • 连续~：设X是连续随机变量，其密度函数为px(x),Y=g(X)是另一个随机变量，若y=g(x)严格单调，其反函数h(y)有连续导函数，则Y=g(X)的密度函数为
  • 正态变量的线性不变性：设X~N(μ,σ方)，当a不等于0时， Y=aX+b~N(aμ+b,a方σ方) 特别的，若X~N(,σ方)，μ则Y=(X-μ)/σ~N(0，1)
• 2.5常用连续分布
  • 正态分布
    • 标准正态分布：U~N(0，1)
      • 当正态分布N(μ,σ方)中的μ=0，σ=1时， 这样的正态分布称为标准正态分布，记为N(0，1)
      • 常用公式以及计算
      • 正态变量的标准化
      • 期望：E(U)=0 方差：var(U)=1
    • 定义：若随机变量X的概率密度如下，则称X服从正态分布，X称为正态变量， 记作X~N(μ,σ2)，其中μ是任意实数，σ>0，μ是未知参数，σ是尺度参数
    • 期望：E(X)=μ 方差：Var(X)=σ方
  • 均匀分布
    • 定义：若随机变量X的密度函数如下，则称X服从区间（a,b）上的均匀分布， 记作X~U(a,b)
    • 期望：E(X)=（a+b）/2 方差：
  • 指数分布
    • 定义：若随机变量X的密度函数如下，则称X服从指数分布， 记作X~Exp(λ)
    • 期望：E(X)=1/λ 方差：Var(X)=1/λ方
• 2.4常用离散分布
  • 二项分布
    • 两点分布
      • 特殊
      • 随机变量X只能取0与1两个值
      • 期望：E(X)=P 方差：Var(X)=p(1-p)
    • 定义：若X的概率分布列如下，则称X服从二项分布，记为X~b(n,p),其中0<p<1
    • 期望：E(X)=np 方差：Var(X)=np(1-p)
  • 泊松分布
    • 定义：设随机变量X的概率分布列如下，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ)，其中参数λ>0.
    • 期望：E(X)=λ 方差：Var(X)=λ