导图社区 高数上册知识点
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高数上册知识点
涵盖了高数上册的所有知识点，主要内容有第一节映射与函数、第二节数列的极限、第三节函数的极限、第四节无穷小与无穷大、第五节极限运算法则等。
编辑于2022-10-08 09:56:52- 相似推荐
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高数上
第一章函数与极限
第一节映射与函数
1. 映射
1.映射定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x,按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称f为X到Y的映射，记作  y被称为元素x在映射f下的像，并记作p素X称为映射f的定义域，记作p,即pp,X映射f的值域，记作p或p,即p. 若p,即Y中的任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X则称f为X到Y的单射；若映射f即是单射又是满射，则称f为或双射）。 映射又称算子，根据集合X、Y的不同形情，在不同的数学分支中，映射有不同惯用名称，例如 从非空集X到数集Y的映射又称为X的泛函 从非空集到它自身的映射又称为X上的变换 从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数
2. 函数
1.定义：设数集D属于R，则称映射f：D➡R为定义在D上的函数，通常简记为y=f(x), 2.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的。 3.函数特性 (1)有界性 (2)单调性 (3)奇偶性 (4)周期性 4.双曲函数 (1)双曲正弦(其倒数为双曲余割cschx)  (2)双曲余弦(其倒数为双曲正割sechx)  (3)双曲正切(其倒数为双曲余切cothx)  (4)双曲函数的性质      5.反双曲函数   
第二节数列的极限
1. 数列极限定义
设{Xn}为一数列，如果存在常数a,对于任意给定的正数p都成立，那么就称常数a是数列{Xn}的极限，或者称数列Xn}收敛于a,记为p 例题： p
2. 收敛数列性质
四个定理： 1.(极限的唯一性)如果数列{Xn}收敛，那么它的极限唯一。 2.(收敛数列的有界性)如果数列{Xn}收敛，那么数列{Xn}一定有界 3.(收敛数列的保号性)如果lim( 4.(收敛数列与其他子数列的关系)如果数列{Xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.
第三节函数的极限
收敛(收敛于某个确定的数)一定有界(振荡)，有界不一定收敛。
1. 函数极限的定义
一般概念： 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。 1.自变量趋于有限值时函数的极限 定义1：设函数f(x)在点X0的某一去心领域有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数p，使得当x满足不等式0<都满足不等式 If(x)-AI<p,那么常数A就叫做函数f(x)当x➡x0时的极限。记作 lim(x➡x0)f(x)=A或f(x)➡A(当x➡x0) 2.自变量趋于无穷大时函数的极限 定义2：设函数f(x)当IxI大于某一正数时有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数p(不论它多么小)，总存在着正数X，使得当x满足不等式 lim(x➡p)f(x)=A或f(x)➡A(当x➡p)
2. 函数极限的性质
定理1:(函数极限的唯一性)如果lim(x~x0)f(x)存在，那么这极限唯一。 定理2:(函数极限的局部有界性)如果lim(x~x0)f(x)=A,那么存在常数M>0和p时，有If(x)I<=M.定理3:(函数极限的局部保号性)如果lim(x~x0)f(x)=A,且A>0(或A<0),那么存在常数p>0,使得当0<Ix-x(x)<0) 定理4:(函数极限与数列极限的关系)如果极限lim(x~x0)f(x)存在,{Xn}为函数f(x)的定义域内任一收敛于X0的数列，且满足:Xn=/X0(p),那么相对应的函数值{f(Xn)}必收敛，且lm(n~p)f(Xn)=lim(x~x0)f(x)
第四节无穷小与无穷大
1. 无穷小
定义： 如果函数f(x)当X➡X0(或趋于无穷)时的极限为0，那么称函数f(x)为当X➡X0时的无穷小。 定理1： 在自变量的同一变化过程X➡X0(或X趋于无穷大)中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+p是穷小
2. 无穷大
定义： 设函数f(x)在X0的某一去心邻域内有定义(或IxI大于某一正数时有定义)，如果对于给定的正数M(不论它多么大)，总存在正数p(或IxI>X),对应的函数值f(x)总满足等式If(x)I>M,则称函数f(x)为当x➡x0(或x➡p)时的无穷大。 定理： 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则1/(f(x))为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小且f(x)不等于0，则1/(f(x))为无穷大。
第五节极限运算法则
定理1：有限个无穷小的和也是无穷小 定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小 定理3：如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么 (1)lim[f(x)+-g(x)]=limf(x)+-limg(x)=A+B, (2)lim[f(x)*g(x)]=limf(x)*limg(x)=A*B. (3)若又有B=/0,则  推论1：如果limf(x)存在，而c为常数，则 lim[cf(x)]=climf(x) 推论2：如果limf(x)存在，而n是正整数，则  定理4：设数列{Xn}和{yn},如果  那么 (1) (2) (3)当p时，p 定理5：如果p,而p那么p定理6：(复合函数的极限运算法则)设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f[g(x)]在点X0的某去心邻域内有定义，若p,且p时，则p
第六节极限存在准则，两个重要极限
1. 准则
两个重要极限： p 准则1:如果数列{Xn}、{yn}及{Zn}满足下列条件 (1)从某项起，即p，当有p (2)p,那么数列{Xn}的极限存在，且p准则1':如果 (1)当pp (2)p 那么p存在，且等于A准则1和准则1'称为夹逼准则 准则2：单调有界数列必有极限 准则2’设函数f(x)在点X0的某个左邻域内单调并且有界，则f(x)在X0的左极限p必定存在。 柯西极限存在准则(柯西审敛原理)： 数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数p，存在着样的正整数N，使得当m>N,n>N时，就有 p
第七节无穷小的比较
定义： 如果p高阶的穷小，记作p; 如果p低阶的无穷。 如果p，就是说小； 如果p,就是说β是p 如果p，就是说β是与p的等 定理1 β与p是等价无穷小的充分必要条件 p p 定理2 设p,且p存在，则 p 说明求两个无穷小之比的极限时，分子分母都可以用等价无穷小来代替。 例子 p
第八节函数的连续性与间断点
1. 函数的连续性
定义：设函数y=f(x)在点X0的某一邻域内有定义，如果  那么就称函数y=f(x)在点X0连续 设函数y=f(x)在点X0的某一邻域内有定义，如果  那么就称函数y=f(x)在点X0连续
2. 函数的间断点
第一类间断点(左右极限都存在) 可去间断点(左右极限相等，但此点不能取) 跳跃间断点(左右极限不相等) 第二类间断点(不是第一类的任意间断点) 无穷间断点 震荡间断点
第九节连续函数的运算与初等函数的连续性
1. 连续函数的和差积商的连续性
定理1： 设函数f(x)和g(x)在点X0连续，则它们的和差积商（g(X0)不等于0）都在X0连续。
2. 反函数和复合函数的连续性
定理2： 如果函数在区间上单调增加且连续，那么它的反函数在对应的区间内也单调增加且连续。 定理3： 函数y=f[g(x)],u=g(x),y=f(u),若 p 定理4： 续定理3，两个函数都连续，复合函数在x0处也连续。
3. 初等函数的连续性
基本初等函数在定义域内都是连续的
第十节闭区间上连续函数的性质
1. 有界性与最大值最小值定理
定理1： (有界性与最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取到最大值和最小值。
2. 零点定理和介值定理
定理2（零点定理） 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)*f(b)<0)，那么在开区间(a,b)内至少有一点p)= 定理3（介值定理） 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B,那么，对于A和B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点p，得 p推论：在闭区间连续的函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
3. 一致连续性
定义：设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意给定的正数p，使得对于,那么就称函数f(x)在区间I上是一致连表示，只要自变量的两个数值接近到一定程度，就可以使函数值达到指定的接近程度。一致连续一定连续，反过来不一定成立。 定理4（一致连续性定理） 如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间一致连续
第二章导数与微分
1. 导数概念
1. 定义
定义： 设函数y=f(x)在点X0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量p;如果p与p之比当p时的极限存在，则=f0处导，并称这个极限为函数y=f(x)在点X0处的导数，记为p,即 p=p
2. 单侧导数
函数在某点可导，充分必要条件是左导数右导数存在且相等。
3. 函数的可导性与连续性的关系
函数在某点可导，那么必在该点连续，在该点连续不一定在该点可导。例如:
2. 函数的求导法则
1. 函数的和差积商的求导法则

2. 反函数的求导法则
反函数的导数等于直接函数导数的倒数 可利用反函数的导数求解出反函数，注意条件是单调可导且导数不为零
3. 复合函数的求导法则
定理3： 如果u=g(x)在点x可导,而y=f(u)在点u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x)]在点x可导，且其导数为  函数能被分解成单一函数的为复合函数，按照从外到里求导。
4. 基本求导法则与导数公式
 17： 18： 19: 20:  21:
3. 高阶导数
二阶及二阶以上的都为高阶导数记作 初等函数的n阶导数：  莱布尼茨公式  排列组合公式 
4. 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 相关变化率
1. 隐函数的导数
1:两边直接微分 2:两边取对数再微分
2. 由参数方程确定的导数
函数的一阶导数等于两个导数的商  二阶及更高阶导数采用拆分法求解 
3. 相关变化率
两个相互依赖的变化率称为相关变化率，研究两个相关变化率的关系，以便从一个变化率得出另一个变化率。 
5. 函数的微分
定义：   函数f(x)在点X0可微的充要条件是函数在点X0可导，且当f(X0)在点X0可微时，其微分一定是： dy=f'(x0)dx
基本初等函数的微分公式与微分法则
微分表达式 dy=f'(x)dx 
微分在近似中的计算
公式： 
第三章微分中值定理与导数的应用
1. 微分中值定理
费马引理： 设函数f(x)在点X0的某邻域U(X0)内有定义，并且在X0处可导，如果对任意的 罗尔定理： 如果函数f(x)满足 1.在闭区间[a,b]上连续 2.在开区间(a,b)内可导 3.在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点p,使得p 拉格朗日中值定理(微分中值定理)(用来证明不等式大用) 如果函数f(x)满足 1.在闭区间[a,b]上连续 2.在开区间(a,b)内可导那么在(a,b)内至少有一点p,使等式p成立 有限增量定理与公式 pp（函数增量的准确表达式，不需要自变量增量很小） 定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数 柯西中值定理 如果函数f(x)及函数F(x)满足 1.在闭区间[a,b]上连续 2.在开区间(a,b)内可导 3.对任一p,那么在(a,b)内至少有一点p，使得等式 p（适用于参数方程）
2. 洛必达法则
洛必达法则由柯西中值定理推理得出 可采用取对数方式求解
3. 泰勒公式

4. 函数的单调性和曲线的凹凸性
函数单调性的判断方法
设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导 (1)如果在(a,b)内f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调递增。 (2)如果在(a,b)内f'(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调递减。 任何区间都适用，包括无穷区间也适用
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性 定义  定理  拐点 函数凹凸性发生改变的点(x0,f(x0)),如果函数存在二阶导，那么其在拐点的二阶导为0，拐点左右两侧的二阶导符号相反，函数在拐点的二阶导也可能不存在。
5. 函数的极值与最大值最小值
函数极值及其求法
定理1(必要条件) 设函数f(x0)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么f'(x0)=0 定理2(第一充分条件)  驻点 导数为零的点，极值点(尖点)不一定是驻点，驻点(两侧导数符号相同)不一定是极值点。
最值问题
求最值步骤 1.求出所有驻点和不可到点 2.带入计算，对比大小 3.得出最值
6. 函数图形的描绘

7. 曲率
弧微分
弧微分概念 设函数基点，并规定依x增大的方向作为曲线的正向，对曲线上的任一点M(x,y),规定有向弧段p的值s,(为弧s)如下： s的绝对值等于这段弧长，当有向弧段p的方向与曲线的正向一致时s>0,相反时s<0，显然，弧s与x存在函数关系：s=s(x),而s(x)是x的单调增加函数。 弧微分公式 p 推导过程 p
曲率及计算公式
曲率概念: 平均曲率:即用单位弧段上切线转过的转角的大小来表达弧段p，即 p 曲率： 平均曲率取极限，p时，记作K ppK也可以表示为 p. 曲率公式 p
曲率圆与曲率半径
曲率半径：  曲率圆： 在曲线上一点M作一半径为ρ的圆，过点M.
曲率中心的计算公式，渐屈线与渐伸线
曲率中心坐标(曲率圆圆心坐标)  渐屈线与渐伸线 
8. 方程的近似解
第一步： 确定根的大致范围，具体地说，确定根所在的区间，这步称为根的隔离，区间[a,b]称为根的隔离区间。 第二步 以根的隔离区间的端点作为根的初始端点值，逐步改善根的精确度，直到满足精确度要求的近似解，主要采用二分法和切线法。
二分法
原理： 零点定理f(a)f(b)<0 步骤：   例题： 
切线法
概念 纵坐标与f''(x) 符号相同的端点X0作切线与x轴交于点(X1,0),此点更加靠近根 
第四章不定积分
1.实在是换元或者降角都没用，就直接整体考虑。 2.对于纯三角函数乘积可采用配凑法 3.对于根式乘根式的配成根式里面含分式，然后将其整体换元。
1. 不定积分的概念与性质
原函数与不定积分的概念
定义1： 如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对任一p 那么函数F(x)称为f(x)在区间I上的的原函数。 原函数存在定理(简述：连续函数一定有原函数) 如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有 F'(x)=f(x) 定义2： 在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)的不定积分，记作 ppp
基本积分表
15个基本积分公式     
不定积分的性质
性质1： 设函数f(x)和g(x)的原函数都存在，则  性质2： 设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则 
2. 换元积分法
第一类换元积分法
定理1(把x整合为一个函数)： 设f(u)具有原函数，p
第二类换元积分法
把x换成另外一个函数  1.利用三角公式  p 
3. 分部积分法
公式：  积分原则： 1.v要容易求得 2.p技巧一（设幂函数为u）： 被积函数： (1)幂函数和正余弦函数乘积 (2)幂函数和正切函数乘积 (3)幂函数和指数函数乘积 技巧二(设幂函数为v) 被积函数： (1)幂函数与对数函数乘积 (2)幂函数与反三角函数乘积 技巧三(设正余弦函数为v) 被积函数： (1)指数函数与正余弦函数乘积
4. 有理函数的积分
定义： 两个多项式的商有有理分)的次数小于Q(x)的次数时，称这个有理函数为真分式，反之称为假分式。 假分式可以化为一个多项式与真分式的和。 对于真分式，如果Q(x)可以分解为两个多项式p的积且没有公因式那么它可以拆成两个真分式之和。 如果p还能再拆，最后这里p) 后两类分式参考第二节例3和例27。 第二类将x-a整体换元即可 第三类配成平方加一的形式然后换元。
第五章定积分
1. 定积分的概念和性质
定义：  注意： 1.定积分只与被积函数和积分区间有关，与函数的记法无关。 定理1： 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理2： 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。 几何意义： 当在积分区间上f(x)既取正值又取负值时，定积分表示在x轴上方面积减去x轴下方面积。 性质1： (1)当a=b时， (2)当a>b时， 性质2：  性质3：  性质4： 如果在区间[a,b]上 p性质5： 如果在区间[a,b]上，pp 推论1： 如果在区间[a,b]上，ppp推论2： p性质6： 设M和m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则 p性质7(积分中值定理) 如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一个点pp 推导(积分第一中值定理) p
2. 微积分基本公式
定理1： 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数 p 定理2：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数p 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数 定理3:(牛顿莱布尼兹公式) 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 p
3. 定积分的换元法和部分积分法
一、换元法 定理（换元公式）： 假设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数 p 推论： p 设f(x)是连续的周期函数，周期为T,则 p 二、分部积分法 p推论： p
4. 反常积分
定义： 设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取t>a,如果极限 p,即ppp，存在即收敛否则为发散 设函数f(x)在区间p上连续，如果反常积分p都收敛，则称上述两反常积分之和间上的反常积分，记p,这时也称反常积分收敛，否则就称反常积分发散。 上述积分统称为无穷限的反常积分。
5. 反常积分的审敛法 ┏函数
审敛法
无穷限反常积分审敛法
定理1： 设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，且f(x)>=0,若函数 p收敛。 定理2(比较审敛原理)： 设函数f(x)、g(x)在区间[a,+∞)上连续.如果p,并且p收敛，则p也收敛；如且p也发散 定理3(比较审敛法1)： p 定理4(极限审敛法1)： p 定理5:(绝对收敛的反常积分一定收敛) p 
无界函数反常积分审敛法
定理6(比较审敛法2):  定理7(极限审敛法2) 
乘以x的p次方，p<=1且极限值存在(大于零)或为无穷大则发散 反之乘以x的p次方，p>1极限值存在则收敛。 乘以x-a(a为瑕点(不可取点)的p次方，p<1且极限值存在则收敛 反之乘以x-a的p次方，p>=1极限值存在(大于零)或者无穷大则发散。无穷限和有界函数的审敛恰好相反
┏函数
定义：  1.递推公式   2.当p3.p4.pp p
第六章定积分的应用
1. 定积分的元素法
2. 定积分在几何学上的应用
面积
看图选择是对y还是x求积分更方便就选取哪个，注意积分上下限。 1.极坐标对角度取微分再由扇形面积计算公式积分 
体积
1.旋转体的体积  2.知道截面面积求体积，无非就是截面积是关于x或y的函数，对其积分即可 
弧长
三者均可互换 1.参数方程形式  2.直角坐标方程  3.极坐标形式 
3. 定积分在物理学上的应用
注意： 选取的微分要具有可加性，和整个物体具有相同的属性。 1.柱壳法 将旋转体用圆刀切成一个小薄壳  2.切甜甜圈,取角度微分，注意高度的选取，也可用柱壳法解决。 
第七章微分方程
1. 微分方程的基本概念
微分方程就是求解y=f(x)的工具。它的解是一个函数或者隐函数 1.微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 例子：xy'=xy是一阶微分方程，xy''=xy是二阶微分方程 n阶微分方程的形式：F(x,y,y',……y 2.通解与隐式通解 微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同。 隐式通解是函数y不能单独用x表示的解。如lnyx+xy=c 3.特解与隐式特解 确定了通解与隐式通解中任意常数的值的解。 4.齐次方程 p,的齐次指的是x的次数等于y的次数。 5.线性 线性是指未知数(包括y,y',……yp6.小贴士 一阶是指未知数导数最高只有一阶（即y’）；线性是指未知数各阶导数的次数都1；齐次就是y及其y的n阶导数的次数都一样。比如y’+p(x)y=q(x),如果q(x)等于0那么就是齐次的，因为各项未知数的阶数和都是1，如果q(x)不等于0就是非齐次的，因为等号右边的一项未知数的次数为0，而左边都为1，不等，所以是非齐次。这是这块知识的一些基本常识概念，这里作个小贴士。
2. 可分离变量的微分方程
形式  将y与dy和x与dx分在两边，同时积分得出通解。
3. 齐次方程
1.如果一阶微分方程可化成下式，方程中每一项关于x、y的次数都是相等的 则称这个方程为齐次方程   解法： p 2.可化为齐次的方程 p ,当p的时候是齐次方程否则不齐次。 解法一(当能求出h和k的值时候,即p) p 解法二(当求不出h和k的值时候,即p) p 
4. 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程  如果Q(x)=0则称上式为齐次方程，如果Q(x)≠0，称其为非齐次方程 解法1(变量代换法,将y换成两个均关于x的函数u和v)：  解法2：常数变易法(令Q(x)=0得出齐次方程通解,令常数为一函数,代回原式,得出此函数的通解，然后将此通解代回齐次方程的通解得出非齐次方程的通解) 思路： 
拓展
伯努利方程
形式：  解法(将 p
5. 可降阶的高阶微分方程
类型(最主要学会变量的代换)： 1. 2.p,大部分写成最基的dy/dx就能消项分离变量。 p 3. p
6. 高阶线性微分方程
用常数变易法求解，即先求齐次方程的通解，然后求取非齐次方程的特解。 
7. 常系数齐次线性微分方程
1.确定特征方程，   
8. 常系数非齐次线性微分方程
特解具有可加性 1.   2. 
9. 欧拉方程
1.形如  2.做变换 3. p
10. 常系数线性微分方程组解法举例
1.先将求导记为D，然后设法消去其中一个函数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数微分方程。 2.得到一个函数后，另一个函数不必要积分就能得出。 注意：可以使用行列式解决，要注意系数位置，右下减去左上，然后代入求导确定系数。 
附录一二阶和三阶行列式简介
附录二基本初等函数的图像
附录三几种常用的曲线
附录四积分表
三角函数公式
1.正割函数p 2.余切函数p 3.p  4.和角公式 p  p
数一
高数
线性代数
概率论