数学学习论-第六章数学能力的获得

北京师范大学-郭玉峰，本章主要介绍了三大能力的获得：数学运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力的特点与培养。另外介绍了数学反思能力的培养。

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• 第六章 数学能力的获得
  • 6.1数学能力概述
    • 6.1.1关于能力的看法
      • 心理过程包括认识过程、情感过程和意志过程。心理特征包括个性意识倾向性和个性心理特征。能力是一种个性心理特征；能力影响活动效率；能力在活动中发展。
    • 6.1.2数学能力、数学知识、数学技能
      • 数学技能是从数学知识掌握到数学能力形成和发展的中间环节。
    • 6.1.3两种数学能力水平
      • （1）学习数学的能力水平（2）“创造性的”数学能力。关系存在争议，本书认为，两种水平的数学能力都是在创造性数学活动中形成和发展起来的，本质上是相同的，只是程度和水平上有差别。
    • 6.1.4数学能力的组成部分
      • 国内外不同专家看法不同。我国以往教学大纲中明确提出培养学生的：数学运算能力、思维能力、空间想象能力、分析问题和解决问题能力、数学创造能力和实践能力。
      • 每次文件突出培养的能力不同。四基：基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。三大基本数学能力：运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力。外加讨论：数学反思能力。
  • 6.2三大基本数学能力
    • 6.2.1数学运算能力
      • 运算实际上是一个映射。运算是根据一定的规则，对数或式进行一系列操作以获得确切结论的运演过程。
      • 曹才翰；罗增儒和李文铭；徐有表和陶文中等对数学运算能力有自己的看法。总的来看，运算能力不仅式运算技能，还包括了逻辑推理。
      • 运算能力的具体要求：（1）掌握算法方面的要求：a理解概念，运用概念进行运算b理解并能运用公式、法则进行运算c掌握各种计算方法，如心算、笔算、估算、计算器等（2）运算技能方面的要求：a运算过程合理方法简捷结果正确b根据问题需要灵活地变换运算的方法c简化运算过程，较快进入“跳步”阶段。（3）思维监控方面的要求：有正确的目标，知道步骤的合理性，及时纠正错误，灵活变换、择优选择运算方法。
      • 林崇德中学生运算能力三层次：（1）了解和理解运算（2）掌握和运用运算水平（3）综合运算能力
      • 研究得到中学生数学运算能力方面的发展规律：
        • （1）运算能力的发展是从简单到复杂，低级到高级，具体到抽象，有层次发展起来的，部分学生因为忽视貌似简单、低级的运算，造成“眼高手低”，运算容易出错的现象。
        • （2）八年级是数学运算能力发展的关键期，到了九年级，运算能力的发展可能有质的飞跃。
        • （3）中学男生运算能力易两极分化，女生运算水平较均衡，男女有差异但不显著。
    • 6.2.2数学空间想象能力
      • 什么是空间想象能力
        • （1）想象是人们在客观事物的影响下，在语言的调节下，将头脑中已有的表象经过结合、改造与创新而产生新表象的心理过程。
          • 子主题
        • 数学空间想象能力，既包括一维二维三维等现实空间，也包括抽象空间——用公理确定了元素关系的集合
      • 与数学直观，几何直观的关系
        • 越是抽象的东西，就越需要直观、形象的东西去理解
        • 数学直观能力：对数学对象与数学对象之间的关系能做出直观、形象的判断，能联想已熟悉的知识和掌握的模型去认识和理解抽象的概念和新的知识。
          • 子主题
        • 几何直观能力：对数学对象与数学对象之间的关系，能运用几何图形和几何语言去表达、思考、解决问题。
        • 宽泛程度：数学直观能力>几何直观能力>数学空间想象能力
      • 中学生空间想象能力发展6个层次
        • 概念、计算、性质、多面体、旋转体、数形结合与沟通。
      • 三级水平（孙敦甲-中学生数学能力发展的研究）：
        • 会识图
        • 复杂图形分解
        • 图形的运动变化，会形象的揭示问题的本质
      • 中学生数学空间想象能力的层次性表现为：（1）会识图（2）会读图和画图（3）会进行图形的组合、想象图形的运动变化
    • 6.2.3数学逻辑思维能力
      • 数学逻辑思维：是以概念、判断、推理的形式进行的思维
        • 形式逻辑思维
          • 其思维的形式是概念判断推理，思维的基本规律是：同一律、矛盾律、排中律和充足理由律
        • 辩证逻辑思维
          • 以形式思维为基础，遵循对立统一规律
      • 中学生数学逻辑思维能力的发展特点
        • 数学概念形成水平的发展
          • 了解和认识概念，有感性的初步认识，能说出外延，能在相关问题中识别它
          • 理解和掌握概念，对概念达到理性认识，明确内涵与外延，知道来龙去脉，与其他概念的关系，用途，应用解决问题
          • 第三级 灵活运用概念，形成概念的网络结构，运用综合知识解决问题
        • 中学生数学命题演算水平的发展
          • 包括
            • 简单命题结构能力，简单命题的界定是“不能在分解的命题”
            • 数学命题运演水平，命题的界定是“能够判断真假的语句”
          • 数学命题演算的三级水平
            • 第一集 对简单命题进行演算，但不能理解命题演算过程中的逻辑连接词的含义
            • 第二级 能进行简单命题的合并，能进行命题的合取和析取演算，能够对简单命题进行否定演算
            • 第三级 复合命题的否定演算，理解逻辑联结词的含义，按照命题演算的法则（交换律、结合律、分配律和双重否定律等）进行正确操作
        • 中学生数学推理能力水平的发展
          • 包括：合情推理、演绎推理
          • 四级水平
            • 第一级 直接推理水平。即套用公式直接推出结论
            • 间接推理水平
            • 迂回推理水平，即需要深入分析条件及相互关系，提出假设，反复验证后才能得出结论
            • 综合推理水平。按照一定的数理逻辑规则、格式进行综合性推理，追求推理过程的简练、合理。
  • 6.3三大基本数学能力的获得
    • 6.3.1中学生数学运算能力的获得和提高，培养中需要注意以下几点
      • 第一，帮助学生准确理解和掌握数学基础知识
      • 第二，进行科学系统的训练。对公式、法则的“顺用”“逆用”“变形用”的训练，重视“简捷算法”和“一题多解”。但要注意“高原现象”，即练习不是越多越好，到一定量后就是徒劳的。
      • 第三，重视运算过程中思维灵活性的训练
    • 6.3.2数学空间想象能力的获得和提高
      • 1.通过平面与立体图形、几何体与三视图的相互转化，提高学生数学空间想象能力2.通过“画图”，提高学生对空间图形的理解和认知3.注重文字、符号、图形语言的相互转化，发展学生数学空间想象能力4.在感知日常生活实例的基础上，逐步建立空间观念，发展数学空间想象能力
    • 6.3.3中学生数学逻辑思维能力的获得和提高
      • 影响此能力提高的主要方面是：数学概念是否明确、数学判断是否恰当，数学推理是否符合逻辑。
      • 需要注意：1.经历感性到理性、具体到抽象的数学学习过程，深入理解数学概念
      • 2.培养学生有根据，有条理进行数学思考的习惯
      • 3.具备逻辑的相关知识
  • 6.4数学反思能力
    • 数学反思是一种积极的思维活动，学会积极反思一定程度意味着学生会进行数学学习
    • 中学生如何具备数学反思能力
      • 第一，进行反思性数学学习
        • 1.反思自己的思考过程2.反思学习过程中涉及的数学知识3.反思学习活动中涉及的数学思想方法
      • 第二，数学教学中运演反思指导语
      • 第三，运用出声思维：1.教授出声示范思维过程2.学生出生思维练习