高等数学（同济)第七版上册第一章

高数第一章思维导图，主要内容有：极限、重要极限、连续点与间断点、无穷大与无穷小、映射与函数、连续函数运算与初等函数、连续性。

函数与极限

• 极限
  • 数列极限
    • 定义：任意的正数A,总存在正整数N,n>有|Xn-a|<A成立
    • 性质（收敛）
      • 极限唯一
      • 数列有界
      • {Xn}的极限为a，a>0,存在正整数N，n>N,有Xn>0
        • 推论：若Xn>0,极限为a，则a>0
      • 子数列极限与数列极限一致
  • 函数极限
    • 去心邻域:存在常数A,任意正数K，总存在正整数H,有|f(x)-A|<K.极限为A
    • X趋向于无穷大:|X|>某一正数
  • 性质
    • 函数存在极限，则极限唯一
    • 局部有界性
    • 局部保号性
      • 函数存在极限，则x在去心邻域内有|f(x)|>|A|/2
    • 与数列极限的关系
  • 运算法则
    • 2(有限)个无穷小之和为无穷小
    • 有界函数与无穷小乘积为无穷小
    • 运算公式:39、40页
    • 41页定理4、5以及推论
    • 复合函数极限运算法则
• 重要极限
  • 存在准则
    • 准则1:46页
    • 准则1’：46页
    • 上面统称为夹逼准则
    • 准则2：单调有界必有极限
  • 重要极限:48、49页
• 连续点与间断点
  • 连续点
    • 去心领域上的函数在点Xo上的连续
    • 定义:57页
  • 间断点
    • 定义
      • 在点Xo上无定义
      • 有定义但是函数极限不存在
  • 分类
    • Xo是函数的间断点
      • 函数左右极限都存在：第一间断点
      • 反之：第二类间断点
• 无穷大与无穷小
  • 无穷小
    • 定义：函数极限趋向于某一X或无穷时极限=0
    • 定理:函数有极限的充分必要条件:f(x)=A+a,a为无穷小
    • 无穷大
    • 去心邻域：任意正数M,总存在正数N,X在其中有有|f(x)|>M
    • 定理：f(x)为无穷大，倒数为无穷小，36页
  • 无穷小的比较
    • 定义：53页
    • a与b的等价无穷小的充分必要条件
      • b=a+C,C为高阶无穷小
      • 若a,b有等价无穷小，则等价无穷小的极限等于a,b的极限
• 映射与函数
  • 映射
  • 如何判断
  • 函数
    • 数集上的定义
    • 特性：有界性、单调性、奇偶性、
    • 反与复合函数
    • 函数运算
• 连续函数运算与初等函数连续性
  • 定理：两个函数在点Xo连续，四则运算都在点Xo连续
  • 反函数与复合函数的连续性
    • 函数在区间I上连续且单调，则反函数也单调且连续
    • 复合函数的连续性：62页
  • 定理：63页下面部分