函数与极限

这是一篇关于函数与极限的思维导图，包括：函数的特性、反函数与复合函数、函数的运算、基本初等函数、数列、极限的定义、收敛数列的性质、函数的极限。

函数与极限

定义 三要素：定义域 值域 对应法则

函数的特性

函数的有界性P7 P8 最值

函数的单调性P7 极值

函数的奇偶性P7 P8 奇函数关于原点对称 偶函数关于y轴对称

函数的周期性P9 f(x)=f（x+T）

反函数与复合函数

逆映射需要满足y每个，x唯一对应 三角函数与反三角函数不互为反函数 P9 P10 P11

函数的运算

和（差） f+（-）g ：（f+ - g)（x） =f（x）+ - g（x） , x属于D

积f*g：（f*g）(x）=f（x）*g(x) ,x属于D

商f/g ： （f/g）（x）=f（x）/g(x) ,x属于D {x|g(x)=0,x属于D}

基本初等函数

幂函数

指数函数

对数函数

三角函数y=sin x ， y=cos x ， y= tan x

反三角函数 y=arc sin x，y=arc cos x，y=arc tan x

双曲函数

P13 双曲正弦sh x 反函数 反双曲正弦 y=arsh x

p13 双曲余弦ch x 反函数 反双曲余弦 y=arch x

P13 双曲正切th x 反函数 反双曲正切 y=arth x

数列极限的定义

定义：设{Xn}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数∑（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式丨Xn-a丨<∑都成立，那么就称常数列{Xn}的极限，或者数列{Xn}收敛于a，记为limXn=a，或Xn→a（n→∞）

收敛数列的性质

定理(极限的唯一性) ： 如果数列{Xn}收敛，那么他的极限唯一

定理(收敛数列的有界性): 如果数列{Xn}收敛，那么数列{Xn}一定有界

定理(收敛数列的保号性): 如果Xn的极限=A，且A>0(或者A<0) ,那么存在正整数N，当n>N时，都有Xn>0(或者Xn<0) 推论：如果数列{Xn}从某项有Xn≥0(或者Xn≤0),且Xn的极限=A，那么A≥0(或者A≤0）

定理：（收敛函数与其子数列间的关系） 如果数列{Xn}收敛于A，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是A

函数的极限

自变量趋于有限值时函数的极限 定义：设函数f（x）在点Xo的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A，对于任意的正数 ∑（不论它多小），总存在正数&，使得当x满足不等式0<|x-Xo|<&时，对应的函数值f（x）都满足不等式 |f（x）-A|< ∑ ,那么常数A就叫做函数f（x）当x趋向Xo时的极限，记作lim f（x)=A或者f（x）--A当（x趋于Xo)

自变量趋于无穷大时的极限 定义：设函数f（x）当|X|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对任意给定的正数∑（不论它多么小），总存在着正数Ⅹ，使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数f（x）都满足不等式丨f（x）-A|<∑，那么常数A就叫做函数f（x）当x→∞时的极限，limf（x）=A或者f（x）→A（当x→∞)

函数极限的性质

定理一：函数的唯一性P32

定理二:函数极限的局部有界性P32

定理三：函数极限的局部保号性 定理三' P32 推论 P32

定理四：函数极限与数列极限的关系P33

无穷大与无穷小

无穷小 定义一P34

无穷小 定理一P35

无穷大 定义二P35

无穷大 定理二P36

极限运算法则

定理一：两个无穷小之和是无穷小 有限个无穷小之和也是无穷小

定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小

推论一:常数与无穷小的乘积是无穷小

推论二：有限个无穷小的乘积是无穷小

定理三P39

推论一P41 推论二P41

定理4 P41 定理5 p41 定理6（复合函数的极限运算法则）

极限存在准则 两个重要的极限

准则1 p46 准则1’

准则2 p48单调有界数列必有极限 如果数列不仅有界，而且是单调的，那么这数列的极限必定存在，也就是这数列一点收敛

准则2 ‘ p51 柯西极限存在准则p51

无穷小的比较

高阶的无穷小 p53 低阶的无穷小p53 同阶无穷小p53 k 阶无穷小 等价无穷小p53

函数的连续性与间断点

函数的连续性p56--p58

函数的间断点p58--p60

连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的和，差，积，商的连续性p62定理1

反函数与复合函数的连续性p62--63 定理2 定理3 定理4

初等函数的连续性 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 一切初等函数在 其定义区间内都是连续的

有界性与最大值最小值定理

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值

零点定理与介值定理

零点定理p68

介值定理p68 推论p68

一致连续性p69 一致连续性定理p70