极限

涵盖极限的所有概念定义，定理，所有题型，及部分真题样例，包括函数、极限、运算、极限运算常用结论、数列极限、无穷大等。

函数 极限 连续

• 函数
  • 基本要素：定义域，对应规则
  • 函数性质
    • 有界性
      • 定义
      • 判定
      • 导数
    • 单调性
      • 定义
        • 若x1<x2，恒有f(x1)<f(x2)，则单调增 恒有f(x1)≤f(x2)，则单调不减
      • 导数
      • 应用
        • 根的个数
        • 证明不等
      • 判定
    • 奇偶性
      • • 连续的偶函数的原函数之一是奇函数
    • 周期性
  • 函数图像
    • 摆线 星形线
    • 三角函数/反三角函数
      • • arccosx
      • 三角函数公式
        • 子主题
          • sin^2(α)+cos^2(α)=1。
          • tan^2(α)+1=sec^2(α)。
          • cot^2(α)+1=csc^2(α)。
        • 子主题
          • sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα。
          • tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα。
          • secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα。
  • 特殊函数
    • 狄利克雷函数
    • 取整函数
    • 符号函数
  • 反函数
  • 复合函数
    • • 内层函数值域与外层函数定义域有交集，此时可复合
    • • 复合函数的定义域：x属于内层函数定义域，内层函数∈外层函数值域
• 极限
  • 定义
    • 极限值等于多少与数列前有限项无关
  • 性质
    • 唯一性
    • 有界性
      • 若数列收敛，则数列一定有界 反之不成立 反例xn=(-1)^n, 有界是数列收敛的必要非充分条件，无界函数一定发散，但发散数列不一定无界
    • 局部有界性
    • 保号性
    • 保序性
    • 与无穷小之间的关系
    • 列与子列极限性质
      • 若列极限存在，任意子列存在相同极限
      • 子极限存在，列极限不一定存在
  • 极限存在准则
    • 夹逼定理(具体型)
      • • 适用n项和
    • 单调有界（抽象型）
      • 单调有界函数一定有极限，单增上有界，单减下有界
        • 适用递推关系Xn+1=f(Xn)
• 运算
  • 求极限方法
  • 运算步骤
    • 极限商存在，若分母趋向于0，则分子一定趋向于0
    • • (secx)^2-1~x^2
      • ln(x+√(1+x^2))~x
• 极限运算常用结论
  • 极限中与对于e的运算一般将其提出来， 变成e^f(x)-1，然后等价无穷小换算
  • e的运算法则
  • log运算法则
  • 等比数列
  • 等差数列
  • 算数平均值
  • a^2+b^2≧2ab
  • |a+b|≤|a|+|b|
  • （t-1）(t^2+t+1)=t^3-1
• 数列极限
  • 不定式
  • n项和的数列极限
  • n项连乘的数列极限
  • 递推关系
• 题型
  • 0/0
  • ∞/∞
  • ∞-∞
  • 0*∞
    • 化成0/0，∞/∞
  • 1＾∞
  • ∞＾1和0＾∞
• 无穷大
  • 常用无穷大比较
  • 无穷大与无界变量
  • 与无穷小互为倒数
• 无穷小题型
  • 洛必达
  • 等价无穷小
  • 泰勒
  • 常用结论及举例
    • • • 适于选填题
        • 量阶比较中加减法，取小的那阶，如8阶-4阶=4阶
• 无穷小
  • 性质
  • 量阶比较
• 连续题型
  • 讨论连续性和间断点的类型
  • 定理
    • 介值定理
    • 最值定理
    • 零点定理
• 连续与间断
  • 连续
  • 间断
  • 连续函数的性质
    • 推论，连续介值定理 零点定理：函数值
    • 闭区间性质
      • 有界性定理
        • 闭区间连续则有界
      • 最值定理
        • 闭区间连续则必有最大值和最小值
      • 介值定理
        • 闭区间a b连续且a b函数值不等， 则a b函数值之间的值必可以由ab之间值取到
        • 推论：最大值与最小值之间的值必可以取到
      • 零点定理
        • ab连续且ab函数值异号，则ab之间必有函数值为0