高数第一章：函数与极限

这是一篇关于高数第一章：函数与极限的思维导图，主要内容有极限存在准则两个重要极限、无穷小的比较、函数的连续性与间断点。

函数与极限

• 极限存在准则 两个重要极限
  • 极限存在准则
    • 夹逼准则
      • 准则I 
    • 单调有界准则
      • 单调有界数列必有极限
  • 两个重要极限
    • 第一重要极限
      •  注意：（1）“0/0”型 （2）“表达式”要一致（在该图中表达式即为x） （3）含有三角函数的“0/0”型优先考虑第一重要极限
    • 第二重要极限
      •  注意：（1）“1的∞次幂”型 （2）互为倒数关系（如该图中的x和1/x） （3）注意括号中的符号一定是加号，一定是加号！！！
• 无穷小的比较
  • 无穷小的阶
    • 
  • 等价无穷小
    • 
• 函数的连续性与间断点
  • 函数的连续性
    • 连续的定义
      • 
    • 函数连续的定义
      • 
    • 注意
      • 注意： （1）该函数在x0要有意义 （2）极限存在且相等 （3）函数在某一点的极限等于该点函数值
  • 函数的间断点
    • 
    • 第一类间断点
      • 可去间断点
        • 在是间断点的前提下，如果该函数存在极限，但该极限不和其函数值相等，则该间断点被称为可去间断点。
      • 跳跃间断点
        • 在有极限的前提下，该函数的左极限与右极限不相等，则该间断点被称为跳跃间断点
    • 第二类间断点
      • 无穷间断点
      • 震荡间断点
      • 其他
• 连续函数的运算与初等函数的连续性
  • 和差积商的连续性
  • 反函数的连续性
  • 复合函数的连续性
    • 在连续的前提下，极限和函数可以交换运算次序
  • 初等函数的连续性
    • 重要结论： （1）基本初等函数在其定义域内都是连续的. （2）初等函数在其定义区间内都是连续的.（所谓定义区间，是指包含在定义域内的区间.）
• 闭区间上连续函数的性质
  • 有界性
    • 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界
  • 最大值、最小值定理
    • 
  • 零点定理
    • 
  • 介值定理
    • 
• 极限运算法则
  • （1）”C/0“型的极限
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  • （2）“0/0”型的极限
    • 因式分解 有理化
  • （3）“∞/∞“型的极限
    • “抓大头” 从最高次幂入手 
  • （4）“∞-∞”型的极限
    • 通分
• 无穷小与无穷大
  • 无穷小
    • 注意
      • 注意：1.无穷小量是变量 2.必须指明变化趋势 3.0是唯一可以视为无穷小量的数；但无穷小量不一定是0 .
    • 定义
      • 如果函数f(x)或数列{U}在自变量x的某一变化过程中的极限为0，则称函数f(x)或数列{U}为该变化过程中的无穷小量，简称无穷小，记作 lim f(x)=0. 注意：lim的下标必须指明变化趋势
    • 性质
      • 1.有限个无穷小的和仍是无穷小 2.有限个无穷小的乘积仍是无穷小 3.无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小.特别的，常数与无穷小的乘积仍是无穷小
  • 无穷大
    • 无穷大意味着不存在极限，是发散！！！
    • 定义
      • 无穷大定义：设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或｜x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ（或｜x|>X,即x趋于无穷），对应的函数值f(x)总满足不等式｜f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞）时的无穷大。
    • 与无穷小的关系
      • 在自变量的同一变化过程中，无穷大的“倒数”是无穷小。
• 函数的极限
  • 特别注意： 函数极限存在的充要条件是：该函数左极限和右极限存在且相等！！！
  • 趋于某一点的极限，可以等于其函数值，也可以不等于
  • 函数极限的定义
    • （1）自变量趋于有限值时函数的极限
    • （2）自变量趋于无穷大时函数的极限
  • 函数极限的性质
    • （1）函数极限的唯一性
      • 
    • （2）函数极限的局部有界性
      • 
    • （3）函数极限的局部保号性
• 数列的极限
  • 数列极限的定义
    • 
  • 收敛数列的性质
    • （1）极限的唯一性
      • 若数列收敛，则其极限必唯一
    • （2）收敛数列的有界性
      • 收敛一定有界，有界不一定收敛 无界一定发散
    • （3）收敛数列的保号性
    • （4）收敛数列与其子数列的关系
      • 收敛数列的任一子数列一定收敛，且子数列极限等于原数列极限 一数列有一子数列发散，则该数列一定发散 一数列有两个收敛于不同极限的子数列，则该数列一定发散
• 函数
  • 函数的概念
    • 领域
      • 邻域是一个特殊的区间，以点a为中心点任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。 
    • 去心领域
      • 只考虑点a邻近的点，不考虑点a，即考虑点集{x|a-δ<x<a∨a<x<a+δ }，称这个点集为点a的去心邻域  
  • 反函数与复合函数
    • 反函数
      • （1）原函数和反函数的定义域、值域互换 （2）原函数与反函数关于y=x对称 （3）原函数与反函数的单调性相同
    • 复合函数
      • 特别注意：并非所有的函数都能复合，只有两函数的值域的交集是非空才能符合
  • 函数的几种特性
    • 有界性
      • 设函数f(x)的定义域为D，f（x）集合D上有定义。 如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。 反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。
    • 单调性
    • 奇偶性
    • 周期性
  • 初等函数
    • 定义：由常数和基本初等常数经过有限次的四则运动和有限次的函数复合步骤所构成，并且可以用一个式子表示的函数，称为初等函数.
    • 基本初等函数
      • 1.幂函数 2.指数函数 3.对数函数 4.三角函数： （1）正弦、余弦 （2）正切、余切 （3）正割：y=sec x=1/cos x 余割：y=csc x=1/sin x （4）反三角函数：y=arcsin x； y=arccos x； y=arctan x； y=arccot x。
• 等价无穷小的替换原理
  • 注意：利用等价无穷小替换求极限，一般在乘积与商的运算时进行整体替换，而在有和差运算时要慎重
• • 所以说，一个发散的数列也可能有收敛的子数列
• 两要素：定义域和对应法则
• 特别注意
  • 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
• 定义域注意事项
  • 1. 分式中分母不为0 2. 偶次根式，根号内式子不小于0 3. 0的0次幂无意义 4. 对数的底数大于0且不等于1 5. 对数真数必须大于0。