微分中值定理与导数的应用

这是一篇关于微分中值定理与导数的应用的思维导图，包括微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式、函数的单调性与曲线的凹凸性、函数的极值与最大值最小值、函数图形的描绘等内容。

微分中值定理与导数的应用

• 微分中值定理
  • 罗尔定理
    • 费马引理
    • 罗尔定理
  • 拉格朗日中值定理
    • 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形
    • 有限增量定理
    • 定理
      • 如果函数f（x）在区间I上连续，I内可导且导数恒为零，那么函数f（x）在区间I上是一个常数
  • 柯西中值定理
    • 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形
• 洛必达法则
  • 两种未定式的定义与分类
    • 0/0
    • ∞/∞
  • 其他类型的未定式
    • 0.∞、∞-∞......
• 泰勒公式
  • 引入
    • 实质
      • 用若干简单信息的叠加，来描述一个复杂的信息
    • 想法来源
      • 微分
    • 缺点
      • 近似程度不高
      • 误差无法估计
  • 泰勒中值定理
    • 泰勒多项式
      • 推导
      • 内容
    • 误差的研究
    • 泰勒中值定理1
      • 误差称为拉格朗日型余项
      • 0阶泰勒公式即为拉格朗日中值定理
    • 泰勒中值定理2
      • 误差称为佩亚诺型余项
    • 麦克劳林公式
      • 当某点=0时，泰勒公式即麦克劳林公式，又称f(x)按x的幂展开
  • 泰勒公式
    • 将函数展开成指定的泰勒公式
      • 公式法
        • 代入常见函数的麦克劳林公式(5个）
      • 间接展法（变量替换）
        • 即用g（x）替换x
    • 利用泰勒公式求极限
      • 无穷小的运算
    • 确定无穷小的阶数
    • 求某一点的高阶导
    • 证明题
• 函数的单调性与曲线的凹凸性
  • 函数单调性的判别法
    • 理论基础（定义）
    • 定理1
      • 特例：f（x）的导数不存在的点左、右两侧单调性可能改变
    • 求单调区间的一般方法
      • 1.求f（x）的一阶导
      • 2.求驻点和不可导点，用这些点将定义区间分成若干部分区间
      • 3.在每个部分区间内判断函数的一阶导的正负性，从而判断单调性
      • 注：若有间断点，间断点也要加入分点
  • 曲线的凹凸性
    • 定义
    • 判别法（定理2）
      • 拐点的定义
      • 定理2内容
    • 求凹凸区间的一般方法
      • 1.求函数的二阶导
      • 2.令函数的二阶导等于零，求其全部解，并求函数的二阶导不存在的点，用这些点将定义区间分为若干部分区间
      • 3.在每个部分区间内判断函数的二阶导的正负性，从而判断凹凸性
      • 注:函数有间断点，也要加入分点
• 函数的极值与最大值最小值
  • 函数的极值及求法
    • 定义
    • 定理1（必要条件）
    • 定理2（第一充分条件）
    • 定理3（第二充分条件)
    • 求极值的一般步骤
  • 最大值最小值问题
• 函数图形的描绘
  • 函数图形描绘的一般步骤
    • 1.确定函数的定义域、间断点，以及函数的奇偶性、周期性，求出f（x）的一阶导数和二阶导数。
    • 2.求出函数一阶导和二阶导=0的全部实根，及函数一阶导和二阶导不存在的点，用这些点将定义域分成若干部分区间
    • 3.确定每个部分区间函数的一阶导和二阶导符号，从而确定单调性、凹凸性、极值点、拐点，把结果列成表格。
    • 4.确定函数图形的水平、铅直渐近线及其变化趋势
    • 5.算出函数一阶导和二阶导的零点及不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点，并适当补充特殊点，画出函数图形。
• 曲率
  • 弧微分
    • 定义
    • 弧微分公式
    • 弧微分公式的参数方程形式
    • 弧微分公式的极坐标形式
    • 弧微分公式的本质
  • 曲率及其计算公式
    • 曲率的定义
    • 曲率的计算公式
  • 曲率圆与曲率半径
    • 曲率半径与曲率的关系
    • 曲率圆与曲线的关系
• 方程的近似解
  • 子主题