函数与极限

高等数学第一章函数与极限的思维导图，包括数列的极限、函数的极限、无穷大与无穷小、极限运用法则、函数的连续性和间断点等内容。

函数与极限

• 函数(P3~15)
  • 定义（P3）,定义域，值域，对应法则
  • 函数的特性
    • 有界性(P6)
      • 必须有上界且有下界，两者缺一不可
    • 单调性(P7)
    • 奇偶性(P7)
    • 周期性(P9)
      • 狄利克雷函数没有最小正周期
  • 函数分类
    • 特殊函数
      • 绝对值函数(P5ex6)
      • 符号函数(P5ex7)
        • sgnx
      • 取整函数(P5ex8)
      • 分段函数
    • 初等函数(P12~16)
      • 幂函数
      • 指数函数
      • 对数函数
      • 三角函数与反三角函数
        • sinx与arcsinx
        • cosx与arccosx
        • tanx与arctanx
    • 反函数(P9)
      • 反函数图像关于y=x对称
      • 用x表示y后，要写成y对x的函数
    • 复合函数(P9)
• 数列与函数极限
  • 数列的极限(e-N定义）
    • 几个常用结论
    • 数列极限定义P20
      • 收敛
        • 极限存在
      • 发散
        • 无穷大
        • 摆动
          • 有界但无极限
    • 收敛数列的性质（书P23~26）
      • 唯一性
        • 存在即唯一
      • 全局有界性
        • 数列若收敛必有界，反之不然
        • 无界一定发散，有界不一定收敛
          • 特例
            • 分段函数
            • 狄利克雷函数
            • -1，1，-1，1，-1，......
      • 保号性
        • 由数列的符号推出数列的性质
          • 如果Xn在n趋于∞时极限为a，且a>0(a<0),那么存在正整数N，当n>N时，都有Xn>0(Xn<0)
          • 推论：如果从某项起有Xn>=0且Xn极限为a，那么a>=0
      • 收敛数列与子数列的关系
        • 如果{Xn}收敛，那么其子数列也都收敛，且极限相等
  • 函数的极限[e-M(x®∞)，e-d定义(x®x0)]
    • 定义
      • 去心邻域
        • 自变量无限趋近但不能到达，故去心
    • 性质
      • 唯一性
      • 局部有界性
      • 局部保号性
        • 推论，局部保不等式性
    • 运算法则
    • 夹逼准则
    • 无穷量
      • 无穷大，无穷小0
        • 为倒数关系
      • 无穷小运算法则
        • 有限无穷小+-×仍是无穷小
          • 无穷小除以无穷小不一定！
        • ×有界函数仍是无穷小
      • 无穷小比阶
        • 0为高阶
        • 无穷为低阶
        • c，c不=0同阶
          • c=1为等价
            • 等价无穷小量运算
    • 两个重要极限
  • 连续与间断
    • 连续点
      • 定义
        • 左连续与右连续
          • 和连续充要
        • 有极限
        • 有定义
        • 极限值=函数值
    • 间断点
      • 定义
        • 无定义
        • 有定义极限不存在
        • 函数值和极限值不相等
      • 分类
        • 第一类
          • 通过左右极限判断
          • 可去(左极限等于右极限，但不等于在该点的极限)
          • 跳跃（左右极限不相等）
        • 第二类
          • 无穷
          • 震荡
• 映射（书P1）
  • 单射
    • f（x）与x一一对应
  • 双射
    • 既是单射又是满射
  • 满射
    • 所有f（x）都有x与之对应