导图社区 高等数学（一）
高等数学包括极限和连续，一元函数微分学，一元函数积分学，空间解析几何，多元函数微积分学，无穷级数，常微分公式。
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高等数学（一）
极限和连续
函数
概念
定义域
分式分母≠0
偶次方根的被开方数≥0
对数的真数＞0
指数函数和对数函数的底数＞0且≠1
y=tanx，x≠kπ+π/2
y=cotx，x≠kπ
值域
基本性质
奇偶性
f(-x)=f(x)，为偶函数，关于y轴对称。
f(-x)=-f(-x)，为奇函数，关于原点对称。
偶函数+偶函数=偶函数； 奇函数+奇函数=奇函数； 偶函数*偶函数=偶函数； 偶函数*奇函数=奇函数； 奇函数*奇函数=偶函数。
周期性（T）
y=Asin(ωx+φ)+b的最小正周期T=2π/|ω|
y=Acos(ωx+φ)+b的最小正周期T=2π/|ω|
y=Atan(ωx+φ)+b的最小正周期T=π/|ω|
有界性
单调性
x1>x2，都有f(x1) >f(x2)，为单调递增
x1>x2，都有f(x1) <f(x2)，为单调递减
反函数
复合函数
初等函数
常数函数 y = C（ C 为常数）
幂函数 y = x^a（ a ∈R为常数）
指数函数 y = a^x（a>0, a≠1）
对数函数 y =log(a) x（a>0, a≠1，真数x>0）
三角函数 正弦函数y =sin x 余弦函数y =cos x 正切函数y =tan x 余切函数y =cot x 正割函数y =sec x 余割函数y =csc x
反三角函数 反正弦函数y = arcsin x 反余弦函数y = arccos x 反正切函数y = arctan x 反余切函数y = arccot x 反正割函数y = arcsec x 反余割函数y = arccsc x
极限
数列极限
四则运算法则
夹逼定理
单调有界数列极限存在定理
函数极限的概念
函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限与右极限都存在且等于A
函数极限的性质
无穷小量和无穷大量
无穷小量的倒数是无穷大量
有限多个无穷小量之积仍是无穷小； 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小； 常数与无穷小量的乘积是无穷小； 无穷大的和未必是无穷大； 任意多个无穷大之积仍是无穷大。
极限存在的准则
两个重要极限
求极限的方法
直接代入法
0/0型
提取公因式
因式分解法
分式有理化
k/0型
∞/∞型
∞-∞型
转化为0/0、∞/∞型再求极限
连续
定义
左连续与右连续
基本初等函数在其定义域都是连续函数
函数连续=左连续=右连续
函数的间断点
跳跃间断点
可去间断点
无穷间断点
振荡间断点
运算
四则运算的连续性
复合函数的连续性
反函数的连续性
闭区间上连续函数的性质
有界性定理
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界
最大值和最小值定理
在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值
介值定理（包括零点定理）
如果x0使f(0) = 0, 则x0称为函数f(x)的零点。
零点定理: 设函数f(x0在闭区间[a,b]上连续，且f (a）与f(b）异号(即f (a)·f (b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点(a<E<b)，使f(台)=0.即方程f(x）=0在（a，b)内至少存在一个实根。
介值定理： 设函数f (x）在闭区间[a，b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f (a) =A及f(b）=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一点，使得f (ξ） =C(a<ξ<b)
一元函数微分学
导数与微分
导数的概念
可导的充分必要条件是：左导数=右导数
斜率*法线=-1
求导法则与基本公式
四则运算
反函数的导数
基本公式
求导方法
复合函数的求导法
隐函数的求导法
直接对方程两边求导
对数求导法
适用于：求幂指函数、带根号、带连乘积的函数的导数。 对方程两边取对数，按隐函数的求导法则求导。
由参数方程确定的函数求导法
实质上是利用复合函数求导法则
求分段函数的导数
高阶导数
对导函数多次求导
微分
微分中值定理和导数的应用
罗尔中值定理
拉格朗日中值定理
推论1 如果函数 f (x) 在区间 (a,b) 上的导数恒为零，那么 f (x) 在区间 (a,b) 上是一个常数。
推论2 函数f(x)及g(x)在区间(a,b)可导，若对任一xϵ(a,b)有f'(x)= g'(x)则f(x)= g(x)+C对任意xϵ (a,b)成立，其中C为常数。
洛必达法则
"0/0"型未定式
"∞/∞"型未定式
其他类型未定式
函数的增减性
设函数f (x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导， （1）如果在(a, b)内，f'(x)>0，那么函数f(x)在(a,b)内单调增加。 （2）如果在(a,b)内, f'(x)<0，那么函数f(x)在(a,b)内单调减少。
判断函数单调性的步骤: (1）确定函数f(x)的定义域 (2）求f'(x)，找出f'(x)=0或f'(x)不存在的点，这些点将定义域分成若干小区间。 (3）列表，由f'(x)在各个小区间内的符号确定的单调性。
函数的极值与极值点
极值存在的必要条件：如果f(x)在点x0处取得极值且在点x0处可导，则f '(x0)=0 说明: (1）定理的几何解释是:可微函数的图形在极值点处有水平切线。 (2）定理的条件仅仅是取得极值的必要条件，但不是充分条件。
使f'(x)=0的点称为函数 f(x) 的驻点。可导函数f(x) 的极值点必定是函数的驻点。但函数f(x) 的驻点却不一定是极值点。
求函数极值点和极值的步骤: （1）求出函数的定义域及导数f'(x); （2）令f'(x)=0，求出f(x)的全部驻点和导数不存在的点； （3）列表判断（用上述各点将定义域分成若干个子区间判定各子区间内f'(x)的正、负，以确定该点是否是极值点）； （4）求出各极值点处的函数值，确定出函数的所有极值点和极值。
函数的最大值与最小值
曲线的凹凸性和拐点
确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤: (1）求出函数y=f(x)的定义域; (2）求出f"(x)=0的点和f"(x)不存在的点; (3）以上个点，把f(x)、f"(x)的定义域划分成若干个子区间，观察若干个子区间上f"(x)的符号，确定凹凸区间和拐点。
曲线的水平渐近线与铅直渐近线
水平渐近线：lim x→∞ f(x)=a⇒y=a
铅直渐近线：lim x→x0 f(x)=∞⇒x=x0
一元函数积分学
不定积分
性质
基本积分公式
换元积分法
第一换元（凑微分）法
第二换元法
分部积分法
定积分
定积分的计算
变上限的定积分
牛顿-莱布尼兹公式
偶函数和奇函数在对称区间上的定积分
无穷区间上的广义积分
定积分的应用
平面图形面积
旋转体体积
空间解析几何
平面与直线
平面方程
平面的点法式方程
平面的一般式方程
特殊的平面方程
若平面平行坐标轴
若平面平行坐标面
两平面间的位置关系
空间直线方程
标准式方程、点向式方程、对称式方程
直线的参数方程
直线的一般式方程
两直线间的关系
平面与直线相互关系
简单的二次曲面
球面
椭球面
圆柱面
椭圆柱面
双曲柱面
抛物柱面
旋转抛物面
圆锥面
多元函数微积分学
多元函数微分学
多元函数
偏导数与全积分
复合函数的偏导数
隐函数的偏导数
二元函数的无条件极值
二元函数的条件极值
二重积分
无穷级数
数项级数
正项级数
任意级数
绝对收敛与条件收敛
幂级数
常微分公式
一阶微分方程
二阶线性微分方程
