函数与极限

这是一篇关于函数与极限的思维导图，包括函数极限、无穷小与无穷大、渐近线、函数的连续性、数列极限、特殊函数等内容。

函数与极限

函数极限

函数特性

有界性

有界⇔有上下界

定义：

特点：界不唯一（如：y=sinx的界可以是M=2，3，4...）

单调性、奇偶性

周期性：并非所有周期函数都有最小正周期（如：狄利克雷函数）

分类

自变量趋于有限值时的函数极限

简单表达：

证明题的要点：

自变量趋于无穷大时的函数极限

简单表达：

证明题的要点：找出X与ε的关系

左右极限

简单表达：

说明：

应用：极限存在⇔左右极限存在且相等

极限不存在的情况

极限为∞

左极限≠右极限

没有确定的函数值（如：sin∞）

函数极限的性质

唯一性：一个过程只有一个极限

局部有界性：

局部保号性

推论

数列极限存在是函数极限存在的必要不充分条件（即：子集收敛是全集收敛的必要不充分条件）

说明：

求极限的方法

复合函数求极限

极限的运算

条件：极限存在，自变量范围相同

极限存在准则

夹逼准则：

单调有界数列必有极限

柯西极限存在准则：

重要极限

无穷小与无穷大

无穷小

简单表示：

说明

无穷小表示极限为0的变量，不是很小的数

0是无穷小唯一的数

运算

有限个无穷小加减乘等于无穷小

常数×无穷小=无穷小

重要应用

有界函数×无穷小=无穷小

等价无穷小(大前提：x→0)

无穷小阶

前提：只有过程相同才能比较

两个定理

分式型求极限，等价无穷小可替换

无穷大

简单表示：

运算：

无穷大⇒⇍无界⇒无极限 有界⇒⇍有极限 无界变量≠无穷大

渐近线

铅直渐近线

水平渐近线

斜渐近线

求法：

在一侧斜渐近线不能和水平渐近线同时存在

函数的连续性

简单定义：

条件：

左右连续

左连续：

右连续：

连续⇔左右连续

若函数在闭区间上连续，则左端点右连续，右端点左连续 若f(x)在(a,b)连续，在a左连续，在b右连续，则f(x)在[a,b]连续，记作f∈C[a,b]

函数间断点

条件

第一类：左右极限都存在但不等

可去间断点

跳跃间断点

第二类：左右极限至少一个不存在

无穷间断点

振荡间断点

特例：狄利克雷函数

连续函数运算

连续函数的复合函数一定连续；有一个不连续则不一定连续

初等函数的连续性

初等函数在定义域内连续

一切初等函数在其定义区间内都连续，在定义域内不一定连续

闭区间上连续的性质

有界性：

最值性：

介值性：

数列极限

定义：

证明题的要点：

收敛数列的性质

极限唯一

一定有界

注：有界不一定收敛

保号性

定义：

任一子数列收敛于同一极限（若数列有两个子数列收敛于不同极限，则原函数一定发散）

特殊函数

符号函数

取整函数

狄利克雷函数

不能画出图像

任何正有理数都可以做它的周期，故它无最小正周期

双曲函数

表达式：

常用公式：

反双曲函数

表达式：

反函数

条件

双射=单射+满射

严格单调

特点

单调性相同

函数值域与定义域颠倒

注意

有反函数的函数不一定严格单调

反三角函数

y=arcsinx

y=arccosx

y=arctanx

y=arccotx

和差化积