函数与极限

这是一篇关于函数与极限的思维导图，包括函数极限、无穷小与无穷大、渐近线、函数的连续性、数列极限、特殊函数等内容。

函数与极限

• 函数极限
  • 函数特性
    • 有界性
      • 有界⇔有上下界
      • 定义：
      • 特点：界不唯一（如：y=sinx的界可以是M=2，3，4...）
    • 单调性、奇偶性
    • 周期性：并非所有周期函数都有最小正周期（如：狄利克雷函数）
  • 分类
    • 自变量趋于有限值时的函数极限
      • 简单表达：
      • 证明题的要点：
    • 自变量趋于无穷大时的函数极限
      • 简单表达：
      • 证明题的要点：找出X与ε的关系
  • 左右极限
    • 简单表达：
    • 说明：
    • 应用：极限存在⇔左右极限存在且相等
  • 极限不存在的情况
    • 极限为∞
    • 左极限≠右极限
    • 没有确定的函数值（如：sin∞）
  • 函数极限的性质
    • 唯一性：一个过程只有一个极限
    • 局部有界性：
    • 局部保号性
      • 推论
    • 数列极限存在是函数极限存在的必要不充分条件（即：子集收敛是全集收敛的必要不充分条件）
  • 说明：
  • 求极限的方法
    • 复合函数求极限
  • 极限的运算
    • 条件：极限存在，自变量范围相同
  • 极限存在准则
    • 夹逼准则：
    • 单调有界数列必有极限
    • 柯西极限存在准则：
  • 重要极限
• 无穷小与无穷大
  • 无穷小
    • 简单表示：
    • 说明
      • 无穷小表示极限为0的变量，不是很小的数
      • 0是无穷小唯一的数
    • 运算
      • 有限个无穷小加减乘等于无穷小
      • 常数×无穷小=无穷小
    • 重要应用
      • 有界函数×无穷小=无穷小
      • 等价无穷小(大前提：x→0)
    • 无穷小阶
      • 前提：只有过程相同才能比较
    • 两个定理
      • 分式型求极限，等价无穷小可替换
  • 无穷大
    • 简单表示：
    • 运算：
    • 无穷大⇒⇍无界⇒无极限 有界⇒⇍有极限 无界变量≠无穷大
• 渐近线
  • 铅直渐近线
  • 水平渐近线
  • 斜渐近线
    • 求法：
    • 在一侧斜渐近线不能和水平渐近线同时存在
• 函数的连续性
  • 简单定义：
  • 条件：
  • 左右连续
    • 左连续：
    • 右连续：
    • 连续⇔左右连续
  • 若函数在闭区间上连续，则左端点右连续，右端点左连续 若f(x)在(a,b)连续，在a左连续，在b右连续，则f(x)在[a,b]连续，记作f∈C[a,b]
  • 函数间断点
    • 条件
      • 第一类：左右极限都存在但不等
        • 可去间断点
        • 跳跃间断点
      • 第二类：左右极限至少一个不存在
        • 无穷间断点
        • 振荡间断点
        • 特例：狄利克雷函数
  • 连续函数运算
  • 连续函数的复合函数一定连续；有一个不连续则不一定连续
  • 初等函数的连续性
    • 初等函数在定义域内连续
    • 一切初等函数在其定义区间内都连续，在定义域内不一定连续
  • 闭区间上连续的性质
    • 有界性：
    • 最值性：
    • 介值性：
• 数列极限
  • 定义：
  • 证明题的要点：
  • 收敛数列的性质
    • 极限唯一
    • 一定有界
      • 注：有界不一定收敛
    • 保号性
      • 定义：
    • 任一子数列收敛于同一极限（若数列有两个子数列收敛于不同极限，则原函数一定发散）
• 特殊函数
  • 符号函数
  • 取整函数
  • 狄利克雷函数
    • 不能画出图像
    • 任何正有理数都可以做它的周期，故它无最小正周期
  • 双曲函数
    • 表达式：
    • 常用公式：
  • 反双曲函数
    • 表达式：
• 反函数
  • 条件
    • 双射=单射+满射
    • 严格单调
  • 特点
    • 单调性相同
    • 函数值域与定义域颠倒
  • 注意
    • 有反函数的函数不一定严格单调
  • 反三角函数
    • y=arcsinx
    • • y=arccosx
    • • y=arctanx
    • • y=arccotx
• 和差化积