概率论脑图

这是一篇关于概率论脑图的思维导图，包括概率论基本概念、随机变量及其布、多维随机条件以及其分布、随机变量的数字特征、大数定律及中心极限定律等内容。

概率论

第一章 概率论基本概念’

事件关系与运算（基本概念）

事件的运算律：徳摩根律，较为重点

图，集合，发生

样本空间S就等于E的所有结果的集合

注：E-随机试验

样本点-就是E的每个结果

求S：①列举法（有限）；②描述法（无限）

随机试验



事件的分类

基本事件

不可能事件

必然事件

事件的运算律P3-P5



交换律

结合律

同一运算

分配律

徳摩根律（长线变短线，符号变化）

混合运算

注：1.遇到具体随机试验E，学会引入事件，使用字母来表示2.体现事件的作用：用事件关系来体现试验E的过程和关系3.注意用词：至少，同时，都，etc.4.要化简运算，写事件运算关系：通过运算化简，含义化简，图化简

概率P(A)

特性



古典概率（①有限样本点 ②样本点发生可能性相同。 计算公式：

①② ③ ④ ⑤  ⑥

有顺序用排列，无顺序用组合

   （P就是我们说的A）  

几何概率（①基本事件无限 ②随机试验发生可能性相同） 计算公式：

注：1.判定几何概率：多与时间相关2.计算优先用几何公式，再考虑积分



条件概率：



本质上是B在A发生的前提下的概率

关于定义的一些注意点



重要性质



概率五大公式

加法公式：

减法公式：

乘法公式：



全概率公式：

完备事件组：事件组两两互斥，全体和为1—->其作用为对样本空间内的任何事件做了完全划分

A=Aomiga = A(B1+B2+...+Bn) = AB1 + AB2 + ... + ABn —->互斥之和，可列可加

常见完备事件组

A与A的对立

具体E，E往往分为两次；前一次的结果作完备事件组

R.U

注：R.U->随机变量

一维离散R.U：X —>将X表示的事件作完备事件组

连续R.U

一维连续：对(-∞,+∞)划分区间作完备划分

二维连续：对整个平面作区域完备划分

各种情况概率之和，B1,B2,..Bn两两互斥

贝叶斯公式：

所求条件的概率除以全概率，B1,B2,..Bn两两互斥

题型：找完备事件组->列概率式：无条件则为全概率，有条件即为贝叶斯



事件的独立性

两个事件独立：

两者的概率不会互相影响，两者没有概率关系，样本点可能有交叉

A与B相互独立，则A，B，非A，非B两两之间相互独立（四独立）

拓展性质

     

小结



题型：1.随机事件的运算和概率->两道题，一类事件运算，一类概率P的问题，要写出事件的运算关系2.由条件概率关系转概率关系（遇条件去条件）/ 计算条件概率，使用定义式，概率公式，概率含义（古典概型）3.独立-> 两道题，一类由独立关系转概率关系（遇独立写P(AB)=P(A)P(B)），另一类为判断事件独立，使用定义，性质，含义来看

遇对立去对立（逆事件）

第二章 随机变量及其分布

随机变量及其分布

用数来表示结果，表示P与x的关系

随机变量R.V的本质是表示E的结果

R.V表示事件，特殊的有空集=x<-∞，全集= x<+∞

分布函数（左开右闭）：

注：①单调不减函数 ②有界性 ③右连续

 

离散型随机变量

一些性质 

注意每种分布的记号

0-1分布(两点分布）:

一次的伯努利实验

注：要先确定事件A，然后确定P（A）。

二项分布X ~ B(n,p)：

n次伯努利实验（将只有两个可能结果的试验独立重复地进行n次）

注：X为事件A发生次数，注意二项分布的形式

 

几何分布X ~ G(p)



表示事件A首次发生时所做的实验次数

注：定P，判断是否时几何分布，找关键词； 注意所有点之和为1



超几何分布X～P(M,N,n).：

从N件产品（其中包含次品M件）中任取n件，以X表示取到的次品数



泊松分布X ~ ⊓(λ)：

泊松分布实际上时二项分布的实验次数趋近于∞的情况

描述某个事件段所经过的人数/车辆数（X）

例题



题型：

1.概率分布的判定

2.求概率分布中的参数：使用规范性求解，使用概率转化为X的分布求解

3.使用概率分布求概率

4.求X的概率分布

5. F（x）讨论其性质，4条共性，其函数呈阶梯型；F(x)与Pk的关联

连续型随机变量

  、   

均匀分布X～U(a,b)：

注：1.观察f（x）的形式，写出f（x），判定是否为均匀分布。 2.均匀分布实际为几何概型，所以可使用概率方法解决



正态分布X~N(ų,ó^2)：

概率密度函数f(x)性质

标准正态分布：

偶函数（关于y对称）

性质（计算）

 例题: 

两个概率：

ų决定位置，ó决定形状

ó固定时，改变ų，图形平移,

ų不变时,ó越小，图形越“瘦”，概率越集中

指数分布X~E(λ)：

表示要达到某一数量所需等待的时间



注：无记忆性(例如X为元件寿命）:

详情见P46

概率密度（本身不代表概率）的性质

非负性f(x)>=0

在（-∞，∞）上积分为1

判断是否为概率密度的充要条件

随机变量函数的分布



求随机变量的概率分布/分布律（离散型） ； 分布函数，概率密度（连续型）



题型：

离散性计算方法（带入得到新的分布律）



连续型计算方法



相关例题

 

一些其他性质

  例题： 

第三章 多维随机条件以及其分布

二维随机变量的定义及其分布函数

 

定义



（x，y）两个变量关系是交的关系；其地位是平行的

二维随机变量的（联合）分布函数：体现交事件的关系

形式：

概率意义



分布函数的四个性质

非负性（不等式性质）

有界性、极限性质

 

单调不减性：分别对于某单独的一个变量单调不减

例如： 

右连续性：与单调不减类似，都是对于单独某个变量右连续，另一个变量视作常数。



注：.F（x，y）为分布函数与上面四条性质成充要条件

边缘分布函数

将其中一个变量设为必然事件，即趋于+∞，然后只用关心另一个变量分布函数

注：1.边缘指的就是单个变量的R.V分布2.其分布关系可以切换为P来理解3.用分布函数求边缘分布函数，注意极限的求法——由极限定函数，区别变量

3.eg.求x的边缘分布函数，先定x，然后确定F，最后在x竖线上对y求极限

注：

1.（X，Y）表示的是积事件，相当于X交Y

2.可推广为n维随机变量：（X1，X2，...，Xn）相当于n个事件的积

二维离散型随机变量



(x,y)可列可数

概率分布(联合分布率）

联合概率分布用表格表示（表格又称概率分布矩阵）

实际上是表示点对的交事件的概率

边缘概率分布



对X求行和，对Y求列和，其本质是从分布矩阵来的

条件概率分布

由条件概率而来

计算方法



注：①.在条件概率分布中，“｜”后者作常数，其形式就是直接从事件的条件概率转换而来 ②.其存在的前提Pij > 0， ③ 条件概率大本质是反应“｜”前者的概率分布 ④ 联合概率分布可以求边缘分布，可以求条件概率分布；反之不可；边缘概率分布与条件概率分布无直接关系，但条件+边缘可以求联合

eg

 

小结



二维连续型随机变量



联合概率密度

性质

分布函数和概率密度的关系及性质



F(x,y)与f(x，y)



2.点对落在一定区域D上的概率，直接对联合概率函数求二重积分



边缘概率密度

联合概率可唯一确定边缘概率，反之不可

公式形式（以关于X的边缘概率密度为例）：



【注】



条件概率密度

概率密度乘法公式

题型：边缘+条件求联合——书写注意分作两个部分，一个是边缘>0 ，另一个是边缘 = 0 ；大于0则使用乘法公式写出

形式：



其存在性具有前提：在“｜”后者边缘密度不为0的情况下才有条件概率密度

其实质是关于“｜”之前的项的概率密度（|前为变量，|后看作常量）

相关题目

 

常见二维连续型随机变量

二维均匀分布

（二维为面积的倒数)；

（x，y）服从均匀分布，且其是几何概型->在区域D上对函数作二重积分，如果是一些特殊区域，可以直接转化为求面积（如三角、梯形等）

二维正态分布

ρ是x，y的相关系数，μ1,μ2是期望，δ1^2,δ2^2是方差

二维正态的性质

 

小结



相互独立的随机变量

与事件独立相对应

X，Y分别表示的事件之间是独立的

离散型



连续型



两个随机变量的函数的分布

问题描述：已知（X，Y）分布，Z=g（x，y）->求Z分布

题型：

两个随机变量和、商、积的分布

公式汇总



相关题目

离散型：  和（连续型）：   商（连续型）： 

最大值、最小值的分布（连续型）

公式汇总



相关题目

 

第四章 随机变量的数字特征

数学期望（E）

E的含义：R.V取值的平均值

一维离散型/二维离散型



一维连续型/二维连续型



随机变量的函数的数学期望



一维



二维



算利润等时，可对期望求导接着算出最大值

数学期望的相关性质



方差（D）

定义



D(X)越小，X取值越集中在E(X)附近；D（X）越大，X取值越分散

计算

离散型



连续型



方差的相关性质





常见随机变量的数学期望和方差

熟记

0-1分布

二项分布

泊松分布

几何分布

均匀分布

指数分布

正态分布

数学期望与方差的比较



切比雪夫不等式：

其常用于估算



协方差（Cov）

其本质也是期望，是[X-E(x)][Y-E(y)]的期望：

公式：Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

可以先算EX，EY；再算EXY。可以一定程度上减少计算量（指EX或EY等于0）

可以使用Cov来计算EXY

性质：

1.Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)

2.Cov(X,Y) = Cov(Y,X);Cov(X,c) = 0

其中的a，b，c是常数

3.Cov(X1+X2,Y) = Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)可以无条件分配

4.Cov(X,X) = D(X)

5.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) ; Cov(X,X) = D(X)

相关系数ρxy

定义形式：协方差/X，Y标准差之积:

性质：

1.相关性小于等于1:

2.充要条件:

3.正相关与负相关

 

不相关与独立的关系：

X,Y相互独立



相互独立=>不相关；相关=>不独立

特殊结论：其前提为X，Y～N，则XY相互独立<=>X与Y不相关

X,Y不相关



协方差及相关系数小结



矩、协方差矩阵

矩

k阶矩



k阶中心矩



k+l阶混合矩



k+l阶混合中心矩



协方差矩阵(二维）

矩阵中的四个二阶中心矩



形式



n维随机变量的协方差矩阵

第五章 大数定律及中心极限定律

最主要的两个定理： ①  ② 

大数定律

切比雪夫大数定理

条件：相互独立；同分布；期望存在，方差存在

伯努利大数定理

辛钦大数定理

与切比雪夫相对比，不要求DX存在，又称弱大数定理

作用：大数定理讨论随机变量之和与其期望的关系

中心极限定理

棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

列维-林德伯格中心极限定理（实际上是上一中心极限定理的一般形式）

要求：独立同分布，具有期望与方差

作用：讨论随机变量之和的近似分布问题

近似为正态分布

题型

1.切比雪夫不等式

要求期望方差均存在

解题思路：1.找到需要的R.U 2.求出E，D3.写出不等式形式4.对比，求P，数字特征

2.大数定理

判定是否满足大数定理：直接验证条件即可

根据收敛关系求收敛值，以及当中的一些参数

解题思路：1.先找随机变量2.找E（R.U）3.对比定理/写出定理（依概率收敛为其期望）

主要还是考E的求解

3.中心极限定理

判定是否满足，验证条件

求P，求参数

解题思路：1.找随机变量2.算E，D3.写出X～N4.对比定理

A，P（A）

R.V类型的区分

离散型

其取值可列可数

其分布为概率分布（分布律）

其函数形式为阶梯形（Fx的区间左闭右开）



连续型

其取值为一个区间

其分布为概率密度

其函数形式为连续的

混合型

区分特征为以上两种的混合

性质：1.非负。2.所有点值之和为1 <=> Pk为x的概率分布的充分必要条件

B包含于A，则P(A-B)=P(A)-P(B)且 P(B)<=P(A).

概率为0或1的事件与任何事件都是相互独立的

概率的重要性质和公理化定义

 

事件的关系



事件包含

事件相等

事件互斥

注：对立一定互斥，互斥不一定对立

对立比互斥多了一个A U B = S

对立（互逆）事件->补集