概率论知识总结

这是一个关于概率论知识总结的思维导图，主要内容有数字特征、极限定理、随机变量及其分布、事件与概率。

概率论

• 数字特征
  • 数学期望
    • 性质
      • E(c)=c E(cX)=cE(X)
      • E(X+Y)=E(X)+E(Y)
      • E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
      • X,Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y)
    • 计算
      • E(X)
        • 0-1分布
        • 二项分布
        • 泊松分布
        • 几何分布
        • 均匀分布
        • 指数分布
        • 正态分布
        • 卡方分布
      • 函数的期望
        • z=g(xy)
        • y=g(x)
  • 方差
    • 定义/计算
    • 性质
      • D(c)=0
      • D(cX)=c²D(X)
      • D(X+c)=D(X)
      • D(X+/-Y)=D(X)+D(Y)+/-2cov(x,y) 当X，Y独立时D(X+/-Y)=D(X)+D(Y)
    • 几种分布的方差
      • （0-1）分布 D(X)=p(1-p)
      • 泊松分布 X～π(λ) D(X)=λ
      • 均匀分布 D(X)=(b-a)²/12
      • 指数分布 D(x)=1/λ²
      • 二项分布 X～b(n,p) D(X)=np(1-p)
      • 正态分布 X～N(μ,σ²) D(X)=σ²
      • 几何分布 D(x)=q/p²
      • 超几何分布 D(x)=nM(N-M)(N-n)/N²(N-1)
      • 伽马分布 D(x)=α/λ²
      • 贝塔分布 D(x)=ab/(a+b)²(a+b+1)
    • 协方差与相关系数
      • 定义
        • 协方差
          • 其本质也是期望，是[X-E(x)][Y-E(y)]的期望 公式：Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
        • 相关系数
          • 协方差/X，Y标准差之积
      • 性质
        • cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
        • X=Y时 cov(X,Y)=D(X)
        • cov(X,c)=0
        • cov(aX,bY)=ab cov(X,Y)
        • cov(aX₁+bX₂,Y)=a cov(X₁,Y)+b cov(X₂,Y)
        • 对于二维正态分布(X,Y)～N(μ₁,μ₂,σ₁²,σ₂²,ρ), cov(X,Y)=σ₁σ₂ρ
  • 矩，协方差矩阵
    • k阶原点矩
    • k阶中心矩
    • k+l阶混合矩
    • k+l阶混合中心矩
• 极限定理
  • 大数定律
    • 伯努利大数定律
    • 契比雪夫大数定律
      • 条件：相互独立；同分布；期望存在，方差存在
    • 马尔科夫大数定律
    • 辛钦大数定律
      • 与切比雪夫相对比，不要求DX存在，又称弱大数定理
  • 中心极限定理
    • 棣莫弗-拉普拉斯CLT中心极限定理
    • 林德伯格-列维CLT中心极限定理（实际上是上一中心极限定理的一般形式）
    • 林德伯格-费勒CLT中心极限定理
    • 李雅普诺夫中心极限定理
  • 随机变量序列的几种收敛性
    • 逐点收敛
    • 几乎处处收敛
    • 依概率收敛（p收敛）
    • 依分布收敛（弱收敛）
• 随机变量及其分布
  • 离散型
    • (0-1)分布
    • n重伯努利实验与二项分布X~b（n,p）
    • 泊松分布X~丌(λ）
    • 几何分布X~Gep(p)
    • 超几何分布X~h(n,N,M)
  • 连续型
    • 分布函数
      • 性质
        • 单调不减性
        • 有界性
        • 右连续性
        • 规范性
    • 概率密度
      • f(x)=F′(x)
    • 几种重要类型
      • 均匀分布X~U(a,b)
      • 指数分布X~Exp(λ)
      • 正态分布X~N(μ,σ²)
      • 伽马分布X~Ga(α,λ)
      • 贝塔分布X~Be(a,b)
• 事件与概率
  • 随机事件
    • 必然事件
    • 不可能事件
    • 事件的关系与运算
      • 事件包含与相等
        • A包含于B，类于A属于B符号，方向相同
        • A与B相互包含
      • A∪B 事件并（和）
      • A∩B 事件交（积）
      • A-B 事件差
      • A∩B=∅ 互斥
      • A∪B＝S且A∩B＝∅ 互逆
      • 运算定律
        • 结合律
        • 交换律
        • 分配律
        • 德摩根律
          • 事件对立，和积互换
  • 频率与概率
    • 频率f(A)
      • 性质
        • 0≤f(A)≤1
        • f(S)=1
        • A1,A2,A3,...An两两互不相容则 f(A1∪A2∪...∪An)=f(A1)+f(A2)+...+f(An)
    • 概率
      • 满足条件
        • 非负性
        • 规范性
        • 可列可加性
      • 性质
        • P(∅)=0
        • 有限可加性 A1,A2,A3,...An两两互不相容则 P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)
        • 若A包含于B，则P(A-B)=P(A)-P(B)
        • 任意事件A P(A)<1
        • 事件A与其逆事件概率之和等于一
        • 加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
  • 古典概型（等可能概型）和伯努利概型
    • 古典概型
    • 几何概型
    • n重伯努利实验
  • 条件概率
    • 定义
      • 在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率
    • 性质
      • 非负性
      • 正则性
      • 可列可加性
    • 乘法公式与全概率公式
    • 贝叶斯公式
  • 独立性
    • 定义
      • 条件概率=无条件概率
    • 互斥不独立
    • 独立不互斥
  • 样本空间
• 多维随机变量及其分布
  • 二维随机变量
    • 二维离散型随机变量
      • 概率分布
        • 边缘概率分布
        • 条件概率分布
    • 二维连续型随机变量
      • 联合概率密度
      • 分布函数与概率密度的关系
        •  F（x，y）与其积分形式的互写与互求
        • 点对落在一定区域D上的概率，直接对联合概率函数求二重积分
        • 若在某一点处连续，则存在其二元偏导
      • 边缘概率密度
      • 条件概率密度
  • 边缘分布
    • 边缘分布函数
      • 将其中一个变量设为必然事件，即—>+∞，然后只关心另一个变量分布函数
    • 边缘概率密度
      • 本质是求x，y的概率密度，由概率密度函数求边缘概率密度，与离散型类似，先定x，再定f，最后在x的竖线
  • 条件分布
    • 定义
      • F（X，Y）=Fx（x)Fy(y)
    • 随机变量相互独立的充要条件
      • 边缘分布律，边缘分布密度独立
  • 相互独立的随机变量
    • X，Y分别表示的事件之间是独立的
  • 两个随机变量的分布
    • Z=X+Y的分布
    • Z=XY,Z=X/Y的分布
    • M=max(X,Y),N=min(X,Y)的分布