微分中值定理与导数的应用

微分中值定理与导数的应用之研究函数，包括求极限、驻点、单调性、极值、最值、凹凸性和拐点等等。

微分中值定理与导数的应用

• 研究函数
  • 求极限
    • 洛必达法则
      • 满足条件
        • x趋于a时两个函数都趋于0或者无穷
        • 在点a的某去心邻域内，两函数的导数都存在且作为分母的那个不为0
      • 应用
        • 0比0型
        • 无穷比无穷
        • 其他类型
          • 转化为0比0或无穷比无穷
  • 驻点
    • 函数在定义域内导数等于0的点和导数不存在的点
  • 单调性
    • 单调增
      • 一阶导数大于0
    • 单调减
      • 一阶导数小于0
  • 极值
    • 一阶导数变号法
      • 极大值：一阶导数由正变负
        • 当一阶导数两侧同号，则x0不是极值点
      • 极小值：一阶导数由负变正
    • 二阶导数非零法
      • 一阶导数等于0，二阶导数不为0
      • 极大值：二阶导数小于0
      • 极小值：二阶导数小于0
    • 一求二分三判断
  • 最值
    • 函数区间上求最值
      • 最值在驻点处和端点处产生
    • 实际问题中的最值
  • 凹凸性
    • 凹：二阶导数大于0
    • 凸：二阶导数小于0
  • 拐点
    • 二阶导数在x0处左右两侧异号
• 当二阶导数等于0无法判断