数值计算方法

数值计算方法有非线性方程的数值解法、方程组的数值解法、非线性方程组的数值解法、插值法与曲线拟合、数值积分与数值微分、常微分方程的数值解法。

数值计算方法

• 非线性方程的数值解法
  • 二分法——最简单的方法
  • 简单迭代法——用极限过程来逐步逼近所给问题精确解的计算方法
  • 加速法
    • 平均值加速法
    • Aitken加速法——收敛阶至少是2阶
    • 待定系数法
  • Newton法与割线法
    • Newton迭代法——也叫切线法，至少是二阶收敛的
    • Newton下山法——对初值的选取没有限制，但是不再具有平方收敛的速度
    • 割线法
      • 单点割线法
      • 两点割线法
• 方程组的数值解法
  • Gauss消去法
    • 消去过程
    • 回代求解
  • 选主元Gauss消去法
    • 解决了选取小主元时的计算误差问题
    • 列主元Gauss消去法
    • 全主元Gauss消去法
  • 矩阵的三角分解法
    • 系数矩阵A可以写成两个三角矩阵相乘，A=LU
    • LU分解法
      • A=LU的分解计算，得到两个矩阵
      • 有LUx=b，令Ux=y，则Ly=b，解得y
      • 再由Ux=y，解得x
  • 追赶法——求解三对角线性方程组
  • 平方根法——系数矩阵A是对称正定的，且有Cholesky分解
  • 迭代法
    • 对高阶稀疏方程组使用
    • Jacobi迭代法——最简单的一种迭代方法
    • Gauss-Seidel迭代法
    • 逐次超松弛（SOR）迭代法——使用加权修正
• 非线性方程组的数值解法
  • 不动点迭代法
    • 非线性Jacobi迭代法
    • 非线性Gauss-Seidel迭代法
  • Newton迭代法
  • 拟牛顿迭代法
• 插值法与曲线拟合
  • Lagrange插值法
    • 两点插值公式（线性插值公式）
    • 三点插值公式（抛物插值公式）
    • 一般插值公式
  • Newton插值法——可以看作是对Lagrange插值法的改进
    • Newton向前插值
    • Newton向后插值
  • Hermite插值法
  • 分段低次插值法
    • 分段线性插值
    • 分段二次插值
  • 三次样条插值法
  • 曲线拟合法
    • 最小二乘法
• 数值积分与数值微分
  • 插值型求积公式
  • Newton-Cotes求积公式
    • 两点求积公式（梯形公式）
    • 三点求积公式（Simpson公式或抛物线公式）
    • 五点求积公式（Cotes求积公式）
  • 复化求积法
    • 复化梯形公式
    • 复化Simpson公式
    • 复化Cotes公式
    • 变步长算法
  • Romberg求积方法
• 常微分方程的数值解法
  • Euler法
    • Euler法显式格式
    • Euler法隐式格式
    • Euler法预测-校正式（改进的Euler法）——基于显示格式
  • Runge-Kutta方法
    • 二阶Runge-Kutta公式
      • Euler法预测-校正式
      • Euler法中点公式
    • 高阶Runge-Kutta公式