导图社区 高等数学上册
关于考研数学上册的思维导图，主要内容有1.函数、极限、连续2.导数与微分3.微分中值定理与导数应用4.不定积分等。
关于考研408数据结构的思维导图，主要内容有c语言、chap1绪论、chap2线性表、chap3栈和队列、chap4串等。
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高等数学
1. 函数、极限、连续
函数
函数概念
初等函数
基本初等函数
由常数和基本初等函数经过四则运算或复合运算而成的式子
特殊函数
复合函数
外层函数的定义域与内层函数值域有交集
反函数
单调函数一定有反函数，反之不然
函数的性态
单调性
函数单调性与其导数关系
只有在区间上满足条件才可推，单点不可
奇偶性
奇函数
偶函数
关于y轴对称的直线方程截距相等斜率加负号
函数奇偶性、导函数奇偶性、原函数关系
周期性
可导的周期函数其导函数为周期函数且周期不变
周期函数的原函数是周期函数的充要条件
所有F(x)+C均为周期函数且周期不变
有界性
有界性判定
拉中证明
无穷区间上可导函数f(x)的有界性与f'(x)的有界性无关
极限
数列
数列极限是否存在，若存在值为多少与数列前n项无关
函数在某点极限与该点函数值无关
性质
局部有界性
保号性
极限值保函数值
函数值保极限值
要点
保序性
存在准则
数列极限存在准则
夹逼准则
n项和
单调有界数列必有极限
递推关系定义的数列
函数极限存在定理
左右极限存在且相等
无穷小与无穷大
无穷小
定义
比较
高阶无穷小
同阶无穷小
极限与无穷小的关系
有限个无穷小的和仍是无穷小
有限个无穷小的积仍是无穷小
注意：无限个无穷小的积不一定是无穷小！
无穷小量与有界量的积仍是无穷小
传递性
常见等价无穷小
x>-1也可
代换原则
乘除关系可以换(指数、底数均不可换)
加减关系在一定条件下可以换
减
加
同阶相加/减不为0
变上限积分等价代换
有加减项时，不能用等价无穷小，要化成相乘/除才可以
原因
加减项时若分子、分母不同阶则精度不足，用等价无穷小无法正确计算极限(等价无穷小本质上是约分)
无穷大
无穷大与无穷小的关系
常见无穷大量的比较
无穷大量与无界变量的关系
无穷大量必为无界变量，而无界变量不一定是无穷大量
极限的运算法则
四则运算
有理运算法则
注意
常用结论
极限可先算的唯一情况！(极限具有同步性，一般要同时取)
复合函数极限法则
基本极限
拓展
重要
函数连续性
连续
间断点及分类
第一类间断点
可去间断点
跳跃间断点
第二类间断点
f(a-0),f(a+0) 至少有一个不存在
连续函数运算
闭区间连续函数的性质
最值定理
f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上取到最小值m和最大值M
有界定理
f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界
介值定理
零点定理
判断函数在某范围内是否有根，有解
条件全是闭区间！
2. 导数与微分
导数
可导充要条件：左右导数都存在且相等
微分
重要关系
近似计算
导数与微分的几何意义
连续可导可微关系
(1)
例(x=0处)：
(2)
(3)
求导法则
四则法则
复合函数求导法则
链导法
适用于内外层导数都存在
隐函数求导法则
等式两边对x微分
反函数求导法则
参数方程求导
一般
公式法
高阶导数
二阶及二阶以上的导数
常用公式
莱布尼兹公式
适用于求f(x)的n阶导
泰勒级数(公式)
适用于求具体点的n阶导
基本公式
三角函数
反三角函数
3. 微分中值定理与导数应用
微分中值定理
零点定理开区间 介值定理闭区间 罗拉柯定理开区间
本质：建立导数和函数之间的关系
罗尔中值定理
是拉格朗日中值定理的特例 可以判断两点之间是否存在极值点
罗尔定理推论
反证法
拉格朗日中值定理
拉格朗日包含于柯西
推论
柯西中值定理
条件：闭区间连续，开区间可导
泰勒定理
建立n阶导数和函数之间的关系
洛必达法则
条件
用洛必达后极限存在才能用洛必达，否则表明洛必达不适用
泰勒公式
建立高阶导数与函数之间的联系
目的
为解决计算极限时使用等价无穷小精确度不足的问题
公式
研究函数全局性态
如：极值
麦克劳林公式
研究函数局部性态
如：极限、某点的高阶导数
极值与最值
极值点
驻点
极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点
可能的极值点
必要条件
极值点导数存在则其导数必=0
充分条件
极值第一充分条件
极值第二充分条件
极值第三充分条件
判断极值点、拐点时只需考察f(x)在x0处的连续性及f'(x),f''(x)是否变号，不需考虑f'(x),f''(x)在x=x0处是否存在
最值
步骤
1. 确定函数定义域
2. 求f'(x),找出f(x)驻点,不可导点及区间端点
3. 比较上述点的函数值大小
f(x)在端点无法取得极值，只能取得最值，极值的定义是要在某点去心邻域内可导，但端点只有左半邻域或右半邻域可导
连续函数闭区间内的唯一极值点一定是最值点
曲线的凹向及拐点
凹凸性
判定
几何意义
凹
所有切线在函数图像下方
凸
所有切线在函数图像上方
拐点
拐点两侧连续曲线凹凸性相反
不需要f''(x)=0或者其他条件！
可能的拐点
曲线拐点二阶导存在，则二阶导必=0
拐点第一充分条件
拐点第二充分条件
拐点第三充分条件
曲线的渐近线
铅直渐近线
水平渐近线
斜渐近线
若在某一方向为水平渐近线则该方向不会有斜渐近线,所以max(水平渐近线+斜渐近线数量)=2
弧微分与曲率
弧微分
曲率与曲率半径
函数在某点的曲率圆半径
函数在该点切线的斜率和曲率圆在该点切线斜率相等
4. 不定积分
概念与性质
原函数
原函数存在定理
连续函数必有原函数，并且原函数为
被积函数是连续的分段函数,不定积分只要在分段点连续，则在分段点一定可导，其值为被积函数在该点函数值
函数有第一类或无穷间断点时必不存在原函数
函数有有限个震荡间断点时不一定存在原函数
重要！
不定积分概念
设F(x)为f(x)的一个原函数，则F(x)+C为f(x)的不定积分
积分方法
换元法
第一类换元法
第二类换元法(无理数：根号，平方和/差)
分部积分法
两类不同函数相乘,vdu比udv更好积的时候
典型不可求积
一定要加绝对值！不要忘记！
平方和差
三类积分
有理函数不定积分
分类
真分式
1| 分子不变，分母因式分解
2| 拆项
假分式
deg:degree,次方数
分解为多项式+真分式
三角有理式积分
万能代换
sinx,cosx幂次低时可以考虑
几种常用的换元法
简单物理函数积分
5. 定积分
概念
物理意义
曲边梯形面积
v=v(t)，路程
定积分概念
分、匀、合、均
积分本质是极限！(和式的极限)
定积分取决于积分区间和被积函数f(x)，与积分变量无关
可积性
连续必可积，可积必有界
定积分的计算
1. 牛顿-莱布尼兹公式
2. 换元积分法
3. 分部积分法
4. 利用奇偶性和周期性
5. 利用公式
变限积分
f(x)表达式中t可换成x,但这个x与上限x无关
连续性
可导性
跳跃
奇偶性可平移
函数越积分，性质越好(光滑)；函数越求导，性质越差
f(x)表达式中x与上限x有关
求导
定积分性质
基本性质
不等式性质
积分中值定理（闭区间）
积分中值定理推广（开区间）
广义积分中值定理（闭区间）
柯西积分不等式
反常积分（广义积分）
无穷区间上的反常积分
积分区间无限
等式右边两个积分都收敛时左边才收敛！
定理
比较判别法
比较判别法的极限形式
无界函数的反常积分
f(x)在a的任意邻域内都无界，那么a称为函数f(x)的瑕点(或无界点)，无界函数的反常积分称为瑕积分
左端点无界
右端点无界
中间点无界
定积分的应用
几何应用
面积
极坐标
旋转体侧面积
面积是正的，要加绝对值！
体积
旋转体体积
特殊情况
已知横截面面积的体积
弧长
参数方程
物理应用
变力沿直线所作的功
力
液体压力
引力
质心、形心
6. 微分方程
基本概念
形式
解
x,y的函数表达式
可分离变量的微分方程
解法
分离x,y后对两边积分
齐次微分方程
一阶线性微分方程
通解中只能有一个独立的任意常数
通解
伯努利方程
全微分方程
偏积分
凑微分
线积分
可降阶的高阶微分方程
线性微分方程
二阶齐次
二阶非齐次
解的结构和性质
方程组
叠加性
2.1的解+2.2的解=(2)的解
n阶常系数齐次线性微分方程
二阶
特征方程
n阶
常系数非齐次线性微分方程
y=齐次通解+非齐次特解
特解形式与f(x)一致
特解
