导图社区 线代第五章思维导图
这是一篇关于相似矩阵及二次型的思维导图，主要内容有向量的长度，内积及正交性、方阵的特征值与特征向量、相似矩阵、对称矩阵的对角化、二次型。
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相似矩阵及二次型
向量的长度，内积及正交性
向量的内积
内积的定义
【x，y】＝x1y1+x2y2+…xnyn
内积的性质
【x，y】＝【y，x】
【λx，y】＝【x，λy】
【x+y，z】＝【x，z】+【y，z】
施瓦茨不等式（由内积性质可证）
【x，y】^2≤【x，x】【y，y】
n维向量的长度（也称范数）
向量长度的定义
||x|||＝（【x，x】）^1/2
向量长度的性质
非负性
齐次性
单位化
取x＝a/||a||
向量的正交性
正交的定义
向量x，y，当【x，y】＝0时，两向量正交
正交向量组
n维向量组，各个向量两两正交且为非零向量
标准正交基
两两相交，且都是单位向量
标准正交化 b-a：施密特正交化
b1＝a1 b2＝a2-【a2，b1】b1/【b1，b1】 …… br＝ar-【ar，b1】b1/【b1，b1】-【ar，b2】b2/【b2，b2】-……-【ar，br-1】br-1/【br-1，br-1】
向量在标准正交基中的坐标计算公式
λi＝（ei）T α＝【α，ei】
正交矩阵（正交阵）
正交矩阵的定义：（A）T× A＝E，即（A）T＝（A）-1
正交矩阵的性质
若A为正交矩阵，则（A）T＝（A）-1也是正交矩阵，且|A|＝1/（-1）
若A，B为正交矩阵，则AB也是正交矩阵
正交变换
定义：若P为正交矩阵，则线性变换y＝Px称为正交变换
解释：设y＝Px为线性变换，则有||y||＝||x||（书上有证明过程，P119）
方阵的特征值与特征向量
特征值
定义：λ，使得Ax＝λx，也可写成|A-λx|＝0
特征方程
定义：|A-λx|＝0（可展开），以λ为未知数的一元n次方程
特性
特征方程在复数范围内恒有解
解的个数为方程的次数（重根按重数计算）
n阶方程A在复数范围内有n个特征值
特征向量
定义：（A-λiE）x＝0，解出x＝pi，则pi即为A的对应于特征值λi的特征向量
注意：零向量不算是特征向量
对应定理
不相等的特征值对应的特征向量线性无关
两个不同特征值对应的特征向量合在一起也就线性无关
特征多项式
定义：|A-λE|
相似矩阵
定义：（P）^-1AP＝B
相似变换
定义：对A进行运算（P）^-1AP
相似的性质
若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同
若n阶矩阵与对角矩阵相似，则对角矩阵对角线上的元是A的n个特征值
n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量
如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角矩阵相似
对称矩阵的对角化
对称矩阵的特征值为实数
设λ1,λ2是对称矩阵A的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量，若λ1≠λ2，则p1，p2正交
设A为n阶对称矩阵则必有正交矩阵使得（P）^-1AP＝（P）TAP＝∧，∧是以A的n个特征值为对角元的对称矩阵
设为A为n阶对称矩阵，λ为A的特征方程的k重根，则矩阵A-λE的秩R（A-λE）=n-k，从而对应特征值λ恰有k个线性无关的特征向量
二次型
定义：含有n个变x1，x2…xn的二次其次函数称为二次型
标准形
定义：只含有平方项的二次型称为二次型的标准型或法式
规范形
如果标准型的系数只在1，-1，0，三个数中取值，则称为二次型的规范型
复二次型
aij为复数时，f称为复二次型
实二次型
aij为实数时，f称为实二次型
合同
定义：设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C使B＝（C）TAC，则称矩阵A与B合同
性质：任给二次型f，总有正交变换x=py，使f化为标准型，标准型系数是f的矩阵A=（aij）的特征值
推论：任给n元二次型总有可逆变换x=Cz，使f（Cz）为规范型
用配方法化二次型成标准型
正定二次型
