高数

张宇高数18讲：第一讲高等数学预备知识；第二讲数列极限；第三讲函数极限与连续性；第四讲一元函数微分学的概念与计算。

数一

第一讲 高等数学预备知识

函数的概念与特性

函数y=f（x）

反函数

复合函数y=f[g[x]]

四种特性

有界性

单调性

奇偶性

周期性

重要结论

函数的图像

直角坐标系下的图像f（x，y）=0

常见图像

基本初等函数与初等函数

图像变换

平移变换

对称变换

伸缩变换

极坐标系下的图像g（r，θ）=0

用描点法画常见图像

心形线（外摆线）

玫瑰线

阿基米德螺线

伯努利双扭线

用直角系画极坐标系下图像

参数法——参数方程x=x（t）y=y（t）

摆线（平摆线）

星形线（内摆线）

第二讲 数列极限

引言

用定义

用性质

唯一性

有界性

保号性

用运算规则

用夹逼准则

用单调有界准则

求极限（或证明极限的存在性）

第三讲 函数极限与连续性

函数极限

邻域

定义

性质

唯一性

局部有界性

局部保号性

运算规则

夹逼准则

洛必达法则

泰勒公式

公式

展开原则

归结原则

无穷小比阶

七种未定式的计算

连续与间断

连续点的定义

间断点的定义与分类

可去间断点

跳跃间断点

无穷间断点

震荡间断点

第四讲 一元函数微分学的概念与计算

概念

引例

导数的概念

微分的概念

导数与微分的计算

四则运算

分段函数的导数

复合函数的导数与微分形式不变性

反函数的导数

参数方程所确定的函数的导数

隐函数求导法

对数求导法

幂指函数求导法

高阶导数

归纳法

莱布尼茨公式

子主题

泰勒公式

变限积分求导公式

基本求导公式

第五讲 一元函数微分学的几何应用

极值与最值的概念

极值

最值

单调性与极值的判别

单调性判别

判极值的必要条件

判极值的第一充分条件

判极值的第二充分条件

判极值的第三充分条件

凹凸性与拐点的概念

凹凸性

拐点

凹凸性与拐点的判别

凹凸性判别

判拐点的必要条件

判拐点的第一充分条件

判拐点的第二充分条件

判拐点的第三充分条件

渐近线

铅垂渐近线

水平渐近线

斜渐近线

最值或取值范围

在闭区间[a,b]上求

在开区间(a,b)内求

作函数图形

第六讲 中值定理

定理1——有界与最值定理

定理2——介值定理

定理3——平均值定理

定理4——零点定理

定理5——费马定理

定理6——罗尔定理

定理7——拉格朗日中值定理

定理8——柯西中值定理

定理9——泰勒公式

定理10——积分中值定理

第七讲 零点问题与微分不等式

零点问题

零点定理（证存在性)

单调性（证唯一性)

罗尔原话

实系数奇次方程至少有一个实根

微分不等式

用函数性态证明不等式

用常数变量化证明不等式

用中值定理证明不等式

第八讲 一元函数积分学的概念和计算

概念

不定积分

原函数与不定积分

原函数（不定积分）存在定理

定积分

定积分的概念

定积分存在定理

定积分的性质

变限积分

变限积分的概念

变限积分的性质

变限积分的求导公式

反常积分

反常积分的概念的通俗理解

无穷区间上反常积分的概念与敛散性

无界函数的反常积分的概念与敛散性

判敛

计算

基本积分公式

凑微分法

换元法

分部积分法

有理函数积分

第九讲 一元函数积分学的几何应用

平面图形的面积

旋转体的体积

函数的平均值

第十讲 积分等式与积分不等式

积分等式

用中值定理

用夹逼准则

用积分法

积分不等式

用滔数的单调性

用拉格朗日中值定理

用泰勒公式

用积分法

第十一讲 多元函数微分学

基本概念

平面点集的基本概念

极限

连续

偏导数

可微

偏导数的连续性

多元函数微分法则

链式求导规则

隐函数存在定理（公式法)

多元函数的极值与最值

概念

无条件极值

隐函数

显函数

条件极值与拉格朗日乘数法

闭区域边界上的最值

闭区域上的最值

第十二讲 二重积分

概念、性质与对称性

几何背景

性质

对称性

普通对称性

轮换对称性

计算

直角坐标系

极坐标系

极坐标系与直角坐标系选择的一般原则

极直互化

积分次序

用二重积分处理一元积分的问题

第十三讲 常微分方程

微分方程的概念

微分方程

常微分方程

微分方程的阶

微分方程的解

微分方程的通解

初始条件与特解

用概念解题

一阶微分方程的求解

变量可分离型

可化为变量可分离型

一阶线性微分方程

伯努利方程（仅数学一要求)

二阶可降阶微分方程的求解(仅数学一、数学二要求)

y"=f(x,y')型

y"=f(y,y')型

高阶线性微分方程的求解

概念

解的结构(以二阶为例)

二阶常系数齐次线性微分方程的通解

二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

n阶常系数齐次线性微分方程的解

第十四讲 无穷级数（仅数学一，数学三要求）

常数项级数

常数项级数的概念与性质

引言

概念及其敛散性

性质

级数敛散性的判别方法

正项级数及其敛散性判别

收敛原则

比较判别法

比较判别法的极限形式

比值判别法(也叫达朗贝尔判剃法

根值判别法（也叫柯西判别法)

交错级数及其其敛散性判别

莱布尼茨判别法

任意项级数及其敛散性判别

绝对收敛

条件收敛

收敛级数的性质

幂级数

幂级数及其收敛域

概念

阿贝尔定理

收敛域的求法

幂级数求和函数

概念

运算法则

性质

重要展开式

函数展开成幂级数

概念

求法

直接法

间接法

第十五讲 数学一，数学二专题内容

一元函数微分学应用

物理应用

相关变化率

几何应用

一元函数积分学应用

物理应用

变力沿直线做功

抽水做功

水压力

几何应用

“平面上的曲边梯形”的形心坐标公式

平面曲线的弧长

旋转曲面的表面积

平行截面面积为已知的立体体积

微分方程的物理应用

牛顿第二定律

变化率问题

欧拉方程（仅数学一要求）

傅里叶级数（仅数学一要求)

第十六讲 数学三专题内容

pass

第十七讲 多元函数积分学的基础知识（仅数学一要求）

向量代数

向量及其表达形式

向量的运算与应用

数量积及其应用

向量积及其应用

混合积及其应用

向量的方向角和方向余弦

空间平面与直线

平面方程

一般式

点法式

三点式

截距式

直线方程

一般式

点向式

参数式

两点式

位置关系

距离

直线间的关系

平面间的关系

直线与平面的关系

空间曲线与曲面

空间曲线

一般式

参数方程

空间曲线在坐标面上的投影

曲面方程

二次曲面

柱面

旋转曲面

多元函数微分学的几何应用

空间曲线的切线与法平面

参数方程给出

交面式方程给出

空间曲面的切平面与法线

隐式给出

显式给出

场论初步

方向导数

梯度

方向导数与梯度的关系

散度

旋度

第十八讲 三重积分，曲线曲面积分（仅数学一要求）

三重积分

三重积分的概念、性质与对称性

概念

性质

对称性

普通对称性

轮换对称性

三重积分的计算

基础方法

直角坐标系

先一后二法

先二后一法

柱面坐标系

球面坐标系

技术方法

对称性

形心公式的逆用

第一型曲线积分

概念、性质与对称性

概念

性质

对称性

普通对称性

轮换对称性

计算

基础方法——化为定积分

空间情形

参数式

平面情形

显式

参数式

极坐标形式

技术方法

边界方程代人被积函数

对称性

形心公式的逆用

第一型曲面积分

概念、性质与对称性

概念

性质

对称性

普通对称性

轮换对称性

计算

基础方法——化为二重积分

技术方法

边界方程代入被积函数

对称性

形心公式的逆用

应用

几何量

平面区域

面积

空间区域

体积

空间曲线

弧长

空间曲面

面积

重心（质心）与形心

平面薄片

空间物体

空间曲线

空间曲面

转动惯量

平面薄片

空间物体

空间曲线

空间曲面

空间曲线

平面薄片

空间物体

空间曲线

空间曲面

第二型曲线积分

第二型曲线积分的概念与性质

场的概念

变力沿曲线做功

第二型曲线积分的概念

第二型曲线积分的性质

平面第二型曲线积分的计算

基本方法——化为定积分

格林公式

空间第二型曲线积分的计算

斯托克斯公式

第二型曲面积分

第二型曲面积分的概念与性质

向量场的通量

第二型曲面积分的概念

第二型曲面积分的性质

第二型曲面积分的计算

基本方法——化为二重积分

高斯公式

高数84分，约占56%