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高数同济第七版上册

这是一篇关于高数同济第七版上册的思维导图，主要内容有函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分等。

编辑于2023-01-07 17:32:33 四川省

数学知识
高数同济

山风

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高数

函数与极限

映射与函数

映射定义设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f ,使得对X中每个元素x ,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,那么称f为从X到Y的映射，记作f:X→Y, 其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f( x),即y =f( x), 而元素x称为元素y (在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作D,,即D,=X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记作R,或f(X ) ,即R,=f(X)= {f( x ) lx E X }.

函数定义：定义设数集DCR,则称映射f:D→R为定义在D上的函数,通常简记为y =f(x),x a D，其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作 D,,即D，= D.

函数特性：有界性单调性奇偶性周期性

数列的极限

定义设{x}为一数列,如果存在常数a ,对于任意给定的正数s (不论它多么小),总存在正整数N ,使得当n>N时,不等式l x , 一a l<s都成立,那么就称常数α是数列|xn}的极限,或者称数列{x。收敛于a ,记为limxn = a或xn>a (n →∞).

定理1(极限的唯一性）如果数列{x}收敛,那么它的极限唯一.

定理2(收敛数列的有界性）如果数列{x。}收敛,那么数列{x}一定有界.

定理3(收敛数列的保号性)如果limx =a ,且a>0（或a<0) ,那么存在正整数N,当n>N时,都有x ,>0（或x ,<0 ) .

定理4(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列{x}收敛于a ,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a.

函数的极限

分类：1.自变量趋于有限值时函数的极限2.自变量趋于无穷大时函数的极限

定理1(函数极限的唯一性）如果limf( x)存在,那么这极限唯一.

定理2(函数极限的局部有界性）如果limf( x )= A,那么存在常数M>0和>0,使得当0<lx-xl<6时,有lf(x )l≤M

定理3(函数极限的局部保号性)如果limf( x )= A,且A>0（或A<0) ,那么存在常数6>0,使得当0<lx一xol<6时,有f(x)>0(或f(x )<0 )

无穷大与无穷小

无穷小：如果函数f(x)当x→X。(或x→ c )时的极限为零,那么称函数f( x)为当x—→X。(或x→∞)时的无穷小

无穷大：设函数f(x)在x的某一去心邻域内有定义(或lxl大于某一正数时有定义).如果对于任意给定的正数M(不论它多么大),总存在正数8(或正数X) ,只要x适合不等式0<lx一x,l<8(或lxl>X ) ,对应的函数值fx)总满足不等式l f( x )l>M ，那么称函数f(x)是当x→>x(或x→∞ )时的无穷大．

极限运算法则

定理1两个无穷小的和是无穷小.

定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论2有限个无穷小的乘积是无穷小.

极限存在准则两个重要极限

夹逼准则

单调有界函数列必有极限

柯西极限存在准则

无穷小的比较

定理β 与α是等价无穷小的充分必要条件为β=α+o( α )

函数的连续性和间断点

连续性：设函数y=f(x)在点x的某一邻域内有定义,如果limf( x)=.f(xo)，那么就称函数f(x)在点x,连续.

间断点：跳跃可去无穷振荡（左右均存在：第一类，非一类则二类）

连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的和、差、积、商的连续性

反函数与复合函数的连续性

初等函数的连续性

闭区间上连续函数的性质

定理1(有界性与最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.

定理2(零点定理)设函数f(x)在闭区间a ,b]上连续﹐且f( a)与f(b)异号(即f(a)·f( b )<0) ,则在开区间( a ,b)内至少有一点末,使f()=

推论在闭区间[ a , b]上连续的函数f(x )的值域为闭区间[ m ,M] ,其中m 与M依次为f(x)在[ a , b]上的最小值与最大值.

定义设函数f(x )在区间Ⅰ上有定义.如果对于任意给定的正数s ,总存在正数8,使得对于区间Ⅰ上的任意两点、x2 ,当lx, —x,l<6时,有l f( x, ) -f( xc , )l< ,那么称函数f(x)在区间Ⅰ上一致连续.

定理4(一致连续性定理)如果函数f(x)在闭区间[ a , b]上连续,那么它在该区间上一致连续.

导数与微分

倒数的概念

函数的求导法则

函数的和、差、积、商的求导法则p85

反函数求导法则p87

复合函数求导法则p89

基本求导法则与导数公式（重要‼️）p92

高阶导数

莱布尼茨公式（重要‼️）p99

隐函数及由参数确定的函数的导数相关变化率

隐函数应先化为显函数

参数方程看成复合函数