高等数学1上 北大版

微积分基本定理，积分中值定理与泰勒公式，向量代数与空间解析集合，多元函数微分学 ，希望对各位小伙伴有所帮助！纯纯学生党补救复习用的。

高等数学1

• 第一章 函数与极限
  • 实数
    • 有理数
      • Q={m/n|m,n属于Z, n>0,(m,n)=1}
      • （m,n)表示m与n的最大公约数（m，n)=1表示m与没有大于1的公约数，因此m/n是既约分数（最简分数）
    • 有界性
      • 单调有界原理：1.证单调；2.证有界
    • 绝对值不等式
      • |x+y|<=|x|+|y|
      • |a-c|<=|a-b|-|b+c|
  • 变量与函数
    • 函数的定义
    • 初等函数
    • 有界函数（不能只作用于x）
  • 序列极限
    • 序列{an}在n趋于无穷的过程中有一个确定的趋势，也就是说an可以任意接近于某个数l，我们就称l为{an}的极限
    • 夹逼定理：设{an}{bn}{cn}为三个序列，并且存在一个自然数N0，使得：若{cn}{bn}都有极限存在，并都等于l，则{an}的极限存在，并且也等于l
    • 极限不等式 设序列{an}及{bn}分别有极限l1和l2，并且l1>l2，则存在一个自然数N，使得an>bn，只要n>N
  • 函数的极限
    • 单侧极限
    • 双侧极限
      • 自变量从a之两侧趋于a的情况。若左侧极限和右侧极限都不存在或者都存在但不相等的话，双侧极限不存在。
    • 关于函数极限的定理
      • 定理一
      • 定理二
      • 定理三
      • 定理四
      • 定理五
      • 无穷大量：
  • 连续函数
    • 严格单调才有反函数
    • 间断点的分类
      • 第一间断点
        • 跳跃间断点
        • 可去间断点
      • 第二间断点
        • 无穷间断点
        • 振荡间断点
  • 闭区间上连续函数的性质
    • 定理一：介值定理
• 第二章 微积分的基本概念
  • 微商的概念
    • 微商的定义
      • 物体沿直线运动的瞬时速度
      • 曲线在一点处的切线
      • 记作f'(x)或df/dx|x=x0
      • 若函数y=f（x)在一点可导，则函数在该点连续
      • f在x0处可导
        • f'(x0)存在
    • 微商的四则运算
  • 复合函数的微商与反函数的微商
    • 定理一（复合函数）
    • 定理二（反函数）
      • 一个函数在一点的导数恰好等于其反函数在对应点的导数的倒数
  • 无穷小量与微分
    • 无穷小量是指以零为极限的变量
      • 等价无穷小（泰勒公式）
    • 微分的概念
      • 函数改变量的线性主要部分
      • 微分dy的几何意义
  • 一阶微分的形式不变性及其应用
    • 不论y是自变量还是中间变量，当z=g（y）时公式d（z）=g‘（x)dy总是成立
    • 隐函数：一般来说，若函数y=f（x）带入一个二元函数F（x，y）=0时使得F（x，f（x））恒等于0，则称y=f（x）是方程F(x,y)所确定的隐函数·
  • 微分与近似计算
  • 高阶导数与高阶微分
    • df(x)=f'(x)dx
  • 不定积分
  • 定积分
    • 概念：
      • 曲边梯形的面积
      • 变力做功
  • 变上限定积分
• 微积分基本定理
  • 牛顿-莱布尼兹公式
• 第三章 积分的计算及应用
  • 不定积分的换元法
    • 第一换元法
    • 第二换元法
  • 分部积分法
  • 有理数的不定积分与有理化方法
    • 万能替换 对于三角函数有理式，求不定积分的一般方法是做变量替换
  • 定积分的分部积分法则与换元积分法则
    • 换元时上下限也得跟着换
    • 偶倍奇零
    • 周期函数
  • 定积分的若干应用
    • 曲线弧长的计算
      • 当曲线由函数y=f（x）给出时，其弧微分为
      • 当曲线由极坐标方程 给出时
    • 旋转体的体积
    • 旋转体的侧面积
    • 曲线弧的质心与转动惯量
    • 平面极坐标下图形的面积
  • 定积分的近似计算*
• 第四章 积分中值定理与泰勒公式
  • 微分中值定理
    • 罗尔定理 设y=f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b).又设y=f(x)在(a,b）内可导则必存在一点c属于（a，b），使得f'(c)=0
    • 拉格朗日中值定理（微分中值定理） 设y=f(x)在[a,b]上连续，在（a，b）上可导，则必存在一点c属于（a，b）使得
    • 定理三
  • 柯西中值定理与洛必达法则
    • 柯西中值定理 设y=f(x)与y=g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且g'(x)≠0，则必存在一点c∈（a，b），使得
    • 洛必达法则
  • 泰勒公式/皮亚诺余项/麦克劳林展开
  • 关于泰勒公式的余项
  • 极值问题
    • 费马定理 可导
    • 定理二 求极值
  • 函数的凹凸性与函数作图
    • 函数的凹凸性
      • 定理1: 设函数y=f(x)在（a，b）上有二阶导数。若对于每一点x∈（a，b），都有f''(x)>0,则f(x)在(a,b)上是向下凹的；f''(x)<0向上凸。
      • 定理2；设y=f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数。若点c∈(a,b)是函数=f(x)的拐点，则f''(x)=0
  • 曲线的曲率*
• 第五章 向量代数与空间解析几何
  • 向量代数
    • 点乘运算
    • 叉乘运算
  • 向量的空间坐标
    • 右手系法则：拇指z轴，其他手指指向为x轴正向1到y轴正向
    • 全体有序数组
    • 方向余弦 设a是一个非零向量，它与x轴、y轴、z轴之夹角分别为α、β、γ，则我们称α、β、γ为向量a的方向角，其中α、β、γ∈[0,Π]，而称cosα，cosβ，cosγ为向量a之方向余弦。
  • 空间中平面与直线的方程
  • 二次曲面
    • 椭圆锥面：
    • 椭球面：
    • 单叶双曲面：
    • 双叶双曲面：
    • 椭圆柱面：
    • 双曲柱面;
    • 椭圆抛物面：
    • 双曲抛物面：
    • 抛物柱面：
  • 空间的切线与弧长
    • 切线标准方程(法平面把分母拿上去相加等于零）
    • 弧微分公式
• 第六章 多元函数微分学
  • 多元函数的概念：
    • 多元函数就是含有多个自变量的函数。
    • 定义：
    • 邻域的概念
  • 多元函数的极限
  • 多元函数的连续性（参考一元函数）
  • 偏导数与全微分
    • 一阶偏导数的定义
      • 几何意义：切线关于轴的斜率
    • 二阶偏导数
    • 全微分
    • 偏导存在且连续，是可微的充分条件
  • 复合函数与隐函数的微分法
    • 复合函数微分法
      • 拉格朗日中值公式
      • 泰勒公式
  • 隐函数存在定理
    • 定理一
    • 定理二
  • 极值问题
    • 多元函数极值问题
      • 定理一（极值的必要条件）
      • 定理二（极值的必要条件
      • 定理三
• 可微=>连续
• 一个集合E被称为开集，如果它每一个点都为内点 一个集合E被称为闭集，如果它的每一点都为外点
• 单位向量
• 无穷小量*有界变量=0
• 五个定理
  • 定理一（夹逼定理）
  • 定理二
  • 定理三
  • 定理四
    • （设an bn都有极限分别为l1l2）没有极限不能用
  • 定理五
    • 通常证明极限不存在。 只要在一个序列中找到两个子序列，他们都有极限值却各不相同，这时原序列就不可能有极限
• 有极限