质点运动学

质点运动学的思维导图，本整理了参考系和坐标系、加速度和速度、直线运动、抛体运动运动叠加原理、圆周运动、相对运动的内容，一起来看吧！

质点运动学

• 参考系和坐标系
  • 参考系
  • 运动的绝对性
  • 坐标系
  • 质点（理想化模型）
  • 位置矢量:从原点指向质点在t时刻位置的有向线段。
    • 大小:r=｜r｜=√x²+y²+z²
    • 方向:用方向余弦表示。
    • 特点:矢量性、瞬时性、相对性。
  • 运动方程:表示运动过程的函数式。
    • 作用:
      • 确定某一时刻质点的位置
      • 确定质点的运动轨迹
    • 轨迹方程的求法
      • 1.把运动方程写成分量式
      • 2.消去时间t 得到轨迹方程
  • 位移:△r=r₁-r₂=（x₂-x₁)i+(y₂-y₁)j+(z₂-z₁)k
    • 大小:｜△r｜=√(△x)²+(△y)²+(△z)²
    • 方向:用方向余弦表示。
    • 平面运动（特例）
      • 大小:｜r｜=√(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²
      • 方向:tanΦ=△y/△x
    • 位移的大小只能记作｜△r｜，不能记作△r。△r=r₁-r₂(长度-长度)=√(x₁²+y₁²+z₁²)-√(x₂²+y₂²+z₂²)
  • 路程:△S
    • 与位移的区别：
      • ①位移只与物体的初末位置有关。②位移不能描述质点位置变化的过程。③两点之间位移是唯一的，路程可以有无数个。
      • 一般情况下：△s≠｜△r｜
      • 有两种情况出现位移大小和路程可以相等：①方向不变的直线运动；②当△t→0时，lim△r=dr,lim△s=ds,有ds=｜dr｜。（注意：即使△t→0，｜dr｜也不能用dr表示。） △t→0 △t→0
    • 正数、标量。
• 加速度和速度
  • 速度
    • 平均速度：v(平均)=△r/△t=(△x/△t)i+(△y/△t)j
      • 大小：｜v(平均)｜=√(△x/△t)²+(△y/△t)²
      • 方向与△r方向一致
    • 瞬时速度：v=lim v(平均)=lim(△r/△t)=dr/dt （位置矢量对时间的一阶导数） △t→0 △t→0
      • 大小：v=｜v｜=dr/dt=ds/dt(极限情况下)
      • 方向：和位移的极限方向一致。△r的极限方向等于轨迹的切线方程。
  • 加速度
    • 平均加速度：a(平均)=△v/△t
      • 大小：｜△v｜/△t
      • 方向：与速度变化方向相同。
    • 瞬时加速度：a=lim△v/△t=dv/dt △t→0
      • 大小：｜dv｜/dt=d²r/dt²(位置矢量对时间的二阶导数)
      • 方向：与△v的极限方向一致。 tanΦ=ay/ax(特殊针对平面)
• 直线运动
  • 匀速直线运动
    • 特征：v=恒矢量，即大小方向都不变
    • 初始条件：t=t₀时，x=x₀ v=(dx/dt)i→v=dx/dt→dx=vdt
    • 运动方程：x=x₀+v(t-t₀)，或者x-x₀=v(t-t₀)
    • 在匀速直线运动的图像中，v-t图中阴影部分表示位移，x-t图像中斜率表示速度。
  • 匀变速直线运动
    • 特征：a是恒矢量，即大小方向都不变。
    • 初始条件：t=t₀时，x=x₀，v=v₀ a=dv/dt→dv=adt →v=v₀+a(t-t₀) v=dx/dt→dx=vdt=[v₀+a(t-t₀)]dt
    • 运动方程：x-x₀=v₀(t-t₀)+1/2a(t-t₀)² 联立可得出：v²-v₀²=2a(x-x₀)
    • v-t图中，斜率表示加速度，阴影部分面积表示位移
• 抛体运动 运动叠加原理
  • 一个运动可以看成几个独立进行的运动 的叠加，这几个运动即有独立性又有叠加性。
  • 抛体运动(加速度恒定)
    • 平抛运动
      • x=0 Vx₀=V₀ ax=0
      • y₀=0 Vy₀=0 ay=0
    • 斜抛运动
      • x₀=0 V₀x=V₀cosθ ax=0 → X=X(t)
      • y₀=0 V₀y=V₀sinθ ay=-g → y=y(t)
    • 特殊情况
      • 当ax=0 ay=-g，t=0时，x₀=y₀=0。且起点与终点同高时。 根据运动方程，消去t可得： 运动轨迹：y=xtanα-(g/2v₀²cos²α)x² 水平射程：d=(2v₀²/g)sinαcosα 最大射程：d₀m=v₀²/g 射高：H=v₀²sin²α/2g
• 圆周运动
  • 匀速圆周运动(匀速率) ｜Va｜=｜Vb｜=V Va≠Vb △v的极限方向指向圆心，为法向加速度。 ｜an｜=v｜dr｜/Rdt=vds/Rdt =v²/R
  • 变速圆周运动 Va≠Vb ｜Va｜≠｜Vb｜ at=lim △Vt/△t △t→0 ｜at｜=dv/dt △t→0 角A→0 △Vt→Va 方向和圆周切线相同
  • 一般曲线运动
    • an=lim △Vn/△t △t→0 大小：｜an｜=v²/ρ 方向：指向曲率圆圆心 反应速度方向的变化
    • at=lim △vt/△t △t→0 大小：｜at｜=dv/dt 方向：曲率圆的圆周切线上 反应速度大小的变化
    • 与变速圆周运动的区别： 1）曲线上不同的点，曲率半径也不同 2）曲率半径绝对曲线的弯曲程度 3）曲率圆的圆心在运动
  • 角量与线量的关系
• 相对运动
  • 相对位矢： 先选定一个基本参考系S，如果另一个参考系 相对于基本参考系S在运动，则称为运动参考系S'。 这两个参考系之间有： r=r₀+r'
  • 相对速度： 对r=r₀+r'求导可得 绝对速度：dr/dt () 相对速度：dr'/dt 牵连速度：dr₀/dt
• 合加速度： a=an+at 大小：｜a｜=√(an²+at²) 方向：tanφ=an/at
• 矢量小结： 位矢：r 位移：△r 速度：v 加速度：a 矢量性：四个量都是矢量，都有大小和方向， 加减运算遵循平行四边形法则。 相对性：不同参照系中，同一质点运动描述不同；不 同坐标系中，具体表达形式不同。 独立性：任一矢量都可以分解，在直角坐标系中，可将其沿x,y，z方向 分解为三个独立的变量，即将矢量化为三个独立变化的标量来处理。 瞬时性：r v a 都是某一时刻的瞬时量 △r是过程量
• 知道运动方程求速度 r(t) →求导→v
• r(t)→求导→v→求导→a ←积分← ←积分←
• 速度的大小和速率是否相等： 平均：｜△r｜/△t≠△s/△t 瞬时：｜dr｜／dt=ds/dt