线性代数

考研数学线性代数详解，每个知识点附带题目。备考线性代数，看这个就够了，希望这份脑图会对你有所帮助。

线性代数

• 行列式
  • 行列式的定义和性质
    • 本质定义
      • n维向量围成图形的体积
    • 逆序数法定义
      • 逆序
        • 如果两个数，前面大后面小，则这两个数是逆序关系
      • 逆序数
        • 一个数列中逆序的个数
      • 奇排列和偶排列
        • 逆序数是奇数或者偶数
      • 逆序数法求行列式的值
        • 标注
    • 展开（余子式）定理
      • 余子式
        • 标注
      • 代数余子式
        • 标注
      • 余子式法求行列式的值
        • 某行或者某列元素乘其对应的代数余子式的求和
          • 标注
    • 性质
      • • 标注
          • 标注
    • 几个重要的行列式
      • 主对角线展开式
        • 标注
      • 副对角线展开式
        • 标注
      • 拉普拉斯展开式
        • 标注
      • 范德蒙德展开式
        • 标注
  • 行列式的计算
    • 具体性
      • 华为基本型
      • 递推法
      • 行列式表示的函数和方程
    • 抽象型
      • 用性质
      • 用公式
  • 余子式和代数余子式的计算
  • 题库
    • 行列式的三种定义分别是
    • 本质定义法的内容是什么
    • 什么是逆序、逆序数、奇排列和偶排列
    • 逆序数法求行列式的内容是
    • 什么是余子式
    • 什么是代数余子式
    • 代数余子式法求行列式的值的思想是
    • 行列式的行和列对换，值会改变吗
    • 如果行列式中某行或者某列元素都为0，则该行列式的值
    • 讲行列式的系列提出来的条件是什么
    • 如果行列式中某列元素为两列值的和，则可以如何处理
    • 行列式的两行对换，则符号如何变化？
    • 行列式的两行或者两列成比例，则行列式的值？
    • 行列式的一行乘k加到另一行，则值如何变化？
    • 主对角线的方向是（左上到右下、还是右上到左下）
    • 主对角线行列式的值为，副对角线的行列式的值为
    • 什么是拉普拉斯行列式
    • 什么是范德蒙德行列式
• 矩阵
  • 矩阵的定义
    • 标注
  • 矩阵的秩
    • 矩阵中不成比例的行数或者列数
  • 矩阵的基本运算
    • 相等
      • 行数、列数、每个元素都相等
    • 加法
      • 对应元素相加
    • 数乘矩阵
      • 矩阵乘某个系数，等于所有元素乘某个系数
    • 矩阵乘法
    • 转置矩阵
    • 向量的内积
      • 即向量和
    • 正交
      • 内积等于零
    • 标准正交向量组（单位正交向量组）
      • 标注
    • 施密特正交化
      • 标注
    • 矩阵的幂
      • 标注
    • 方阵乘积的行列式
      • 标注
    • 几种特殊矩阵
      • 零矩阵
      • 单位矩阵
      • 数量矩阵
        • 标注
      • 对角矩阵
        • 标注
      • 对称矩阵
        • 标注
      • 反对称矩阵
        • 标注
      • 正交矩阵
        • 标注
      • 分块矩阵
        • 标注
          • 标注
  • 矩阵的逆
    • 定义求法
      • 标注
        • 标注
    • 逆矩阵的性质和重要公式
      • 标注
        • 标注
    • 定义求逆矩阵的方法
      • 方法一
        • 标注
      • 方法二
        • 标注
      • 方法三
        • 标注
    • 等价矩阵求法
  • 伴随矩阵
    • 定义
      • 每个元素的代数余子式组成的新矩阵
    • 重要性质和公式
      • 标注
        • 标注
    • 伴随矩阵求矩阵逆的方法
      • 标注
  • 初等矩阵和初等变换
    • 初等变换
      • 乘以常数
      • 互换两行位置
      • 将一行或者一列的k倍加到另一行或者列
    • 初等矩阵
      • 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
    • 初等矩阵的性质
      • 初等矩阵的转置仍是初等矩阵.
      • 初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵都是同一类型初等矩阵
      • 若A是可逆矩阵,则A可以表示成有限个初等矩阵的乘积,即A=PP:…P, ,其中 P,P.…,P,是初等矩阵.
      • 对n阶矩阵A进行初等行变换,相当于矩阵A左乘相应的初等矩阵.同样,对A进行初等列变换.相当于矩阵A右乘相应的初等矩阵.
    • 初等矩阵求逆矩阵的方法
      • 标注
  • 等价矩阵和等价标准型
    • 等价矩阵
      • 标注
  • 矩阵的秩
    • 定义
      • k阶子式不为0，k+1阶子式全为0
    • 性质
      • 初等变换不改变矩阵的秩
    • 秩的几个关键式子
      • 标注
  • 题库
    • 什么是矩阵
    • 矩阵的秩如何计算
    • 矩阵如何进行加、减、乘、数乘
    • 向量的内积如何计算
    • 什么叫做向量的正交
    • 什么是标准向量正交组
    • 什么叫做施密特正交化
    • 什么是矩阵的幂
    • 什么是方阵乘积的行列式
    • 什么是零矩阵、单位矩阵、数量矩阵
    • 什么是对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵
    • 什么是正交矩阵
    • 分块矩阵如何定义
    • 矩阵的逆如何定义
    • 矩阵的逆和伴随矩阵有什么关系
    • kA的逆为
    • AB的逆为
    • 转置的逆和逆的转置有何关系
    • 根据定义求矩阵的逆的三种方法是
    • 伴随矩阵的定义是
    • A和A*乘积等于，A*的绝对值等于
    • （AB）*等于？
    • （A*）*的值为
    • 伴随矩阵和逆矩阵的关系是（如何由伴随矩阵求逆矩阵）
    • 什么是初等变换
    • 初等矩阵是____矩阵经过初等变换得到
    • 初等矩阵的转置是初等矩阵吗？
    • 初等矩阵的逆矩阵和该初等矩阵同一类型吗
    • 初等变换等价_____
    • 利用初等矩阵求逆矩阵的方法是
    • 解释什么是矩阵的秩
    • 初等变换后，矩阵的秩会发生改变吗
    • 矩阵和的秩 与 矩阵秩的和有什么关系
• 向量组
  • 基本概念
    • n维度向量
      • n个向量构成的一个有序数组
      • 相加
        • 每个元素相加
      • 相等
        • 每个元素对应相等
      • 数乘
        • 每个元素乘以一个数字
    • 线性组合
      • 标注
    • 线性表出
      • 标注
    • 线性相关
      • 标注
      • 线性无关
  • 判断线性相关的7大定理
    • 定理一
      • 标注
    • 定理二
      • 标注
    • 定理三
      • 标注
    • 定理四
      • 标注
    • 定理五
      • 标注
    • 定理六
      • 标注
    • 定理七
      • 标注
  • 几个概念
    • 极大线性无关组
      • 标注
    • 等价向量组
      • 标注
    • 向量组的秩
      • 标注
    • 有关向量组的秩的重要定理和公式
      • 三秩相等
        • 标注
      • 初等变化规律
        • 标注
      • 线性表示秩的关系
        • 标注
  • 题库
    • 什么是n维向量，n维度向量的组成是由元素还是由向量构成
    • 解释n维向量的相加、相等、和相乘
    • 什么是向量的线性组合
    • 什么是向量的线性表示
    • 什么是线性相关线性无关
    • 线性相关要求对应的一组系数满足什么条件
    • 线性相关要求以下满足什么条件：
    • 1.一个向量和其他n-1个向量满足什么条件
    • 2.如果a1,a2,a3....线性无关，b，a1,a2,a3...（向量组）线性相关。则b和a1,a2,a3是什么关系？关系存在唯一性吗
    • 3.？如果A1（向量组）能由B1（向量组），线性表示，则A1线性相关
    • 4.如果b能用a1,a2,a3线性表示，则r(b,a1,a2,a3)和r(a1,a2,a3)有什么关系
    • 5.？如果向量组一部分向量线性相关，则整个向量组未必线性相关
    • 6. ？如果一-组n维向量α ag，…,,线性无关,那么把这些向量各任意添加m个分量所得到的新向量(n+m维)组α,a ,…,α.’是线性相关的
    • ？ 如果a , 1g…,t,线性相关,那么它们各去妻相同的若干个分量所得到的新向量组也是线性相关的.
    • 什么是极大线性无关组
    • ？极大线性无关组本身是线性相关的
    • 什么是等价向量组
    • 什么是向量组的秩
    • 矩阵的秩、行向量的秩、列向量的秩之间是什么关系
    • A初等变换到B，则A,B的行向量组是什么关系？
    • A和B的任何相应部分列向量都具有相同的什么关系？
    • 如果向量组B能由向量组A线性表示，则r(A)和r(B)是什么关系
• 线性方程组
  • 线性方程组和向量组的等价性
    • 标注
  • 齐次线性方程组求解
    • 标注
    • 齐次线性方程组
      • 结尾都为0，形如
    • 有解的条件
      • 标注
    • 解的性质
      • 标注
    • 求基础解系
      • 基础解系满足条件
        • 标注
    • 通解
      • 基础解系的线性组合
    • 求解方法和步骤
      • 初等变化为阶梯矩阵
        • 标注
      • 按列找出一个秩为r的子矩阵,剩余列位置的未知数设为自由变量.
      • ③按基础解系定义求出5,5z…,5.-,并写出通解.
  • 非齐次线性方程组
    • 形如
    • 有解的条件
      • 标注
    • 解的性质
      • 标注
    • 特解
      • Ax=b的解
    • 求解通解的方法
      • 先求出齐次线性方程组的解
      • 再求出一组特解
      • 子主题
  • 题库
    • 线性方程组和向量组有什么关系
    • 什么是齐次线性方程组和非齐次线性方程组，二者的区别是
    • 其次线性方程组什么情况下有唯一零解
    • 什么情况下有n-r个解
    • 齐次线性方程组解的性质是
    • 社么是齐次方程组的基础解系
    • 什么是其次线性方程租的通解
    • 齐次线性方程组在求解过程中应先做什么转化
    • 非齐次线性方程组在什么条件下：
    • 1.无解 2.有唯一解 3.有无穷多解
    • 非齐次线性方程组的解的性质是
    • 什么是非齐次线性方程组的特解
    • 非齐次线性方程组求通解的方法是
• 特征值和特征向量
  • 特征值和特征向量
    • 定义
      • 标注
    • 计算
      • 和等于对角线之和
        • 标注
      • 乘积等于模
        • 标注
    • 特征值性质
      • 标注
    • 求法
      • 具体型矩阵
      • 抽象型矩阵
  • 相似
    • 矩阵相似
      • 定义
        • 存在可逆矩阵
      • 性质
        • 标注
          • 标注
            • 标注
              • 标注
    • 矩阵的相似对角化
      • 定义
        • 矩阵
      • 可相似对角化的条件
        • 标注
    • 实对称矩阵必相似于对角矩阵
      • 实对称矩阵
        • 标注
          • 标注
  • 题库
    • 1. 特征值和特征向量：
      • 定义
        • 问题：什么是特征值和特征向量？有哪些标准定义和表示方法？
      • 计算
        • 问题：如何计算一个矩阵的特征值和特征向量？有哪些求解方法和公式？
      • 特征值性质
        • 问题：特征值有哪些性质？例如对角线元素之和等于特征值之和、行列式等于特征值之积等。
      • 求法
        • 问题：如何求解一个具体型或抽象型矩阵的特征值和特征向量？
    • 2. 相似：
      • 矩阵相似
        • 问题：什么是矩阵相似？有哪些标准定义和表示方法？
      • 性质
        • 问题：矩阵相似有哪些性质？例如保持行列式、迹等不变。
      • 矩阵的相似对角化
        • 问题：什么是矩阵的相似对角化？什么样的矩阵可以进行相似对角化？
      • 实对称矩阵必相似于对角矩阵
        • 问题：什么是实对称矩阵？为什么实对称矩阵必相似于对角矩阵？
• 二次型
  • 二次型的定义和矩阵表示
  • 化二次型为标准型与规范性
    • 配方法
    • 正交变换法
    • 合同
    • 惯性定理
  • 正定二次型
    • 定义
    • 充要条件
    • 必要条件
    • 判定
      • 具体二次型
      • 抽象型二次型
  • 题库
    • 1. 二次型的定义和矩阵表示：
      • 定义
        • 问题：什么是二次型？有哪些标准定义和表示方法？
      • 矩阵表示
        • 问题：如何将二次型表示为矩阵形式？有哪些公式和方法？
    • 2. 化二次型为标准型与规范性：
      • 配方法
        • 问题：什么是配方法？如何使用配方法将二次型化为标准型？
      • 正交变换法
        • 问题：什么是正交变换？如何使用正交变换将二次型化为标准型？
      • 合同
        • 问题：什么是合同？如何使用合同将二次型化为标准型？
      • 惯性定理
        • 问题：什么是惯性定理？如何使用惯性定理判断二次型的规范性？
    • 3. 正定二次型：
      • 定义
        • 问题：什么是正定二次型？有哪些标准定义和表示方法？
      • 充要条件
        • 问题：正定二次型有哪些充要条件？如何证明？
      • 必要条件
        • 问题：正定二次型有哪些必要条件？如何证明？
      • 判定
        • 问题：如何判断一个具体型或抽象型二次型是否为正定二次型？有哪些判定方法和公式？