高等代数线性空间

高等代数线性空间的思维导图，介绍了集合 映射、定义及其性质、维数 基 与坐标、基变换与坐标变换、直和、子空间的交与和、线性子空间的知识，欢迎学习。

线性空间

• 集合 映射
  • 集合的概念
    • 特性
      • 确定性
      • 互异性
      • 无序性
    • 表示方法
      • 列举
      • 描述
    • 运算 取其中一个元素
  • 映射
    • 定义
      • 像
      • 原像
    • 乘积 映射的乘法满足结合律
    • 特殊映射 单位映射 恒等映射 复合映射
    • 逆映射
• 定义及其性质
  • 定义
    • 两种运算
      • 加法
      • 乘法
    • 两个集合
    • 八条算律
      • α+β=β+α
      • （α+β）+γ＝α+（β+γ）
      • 1a=a
      • k(la)=(kl)a
      • (k+l)a=ka+la
      • k(α+β）=kα+kβ
      • 在V中有一个元素α，都有V中的元素β，使得a+β=0，元素 0称V的零元素
      • 对于V中每一个元素a,都有V中的元素β，使得a+β=0,β称为a的负元素
  • 性质
    • 零元素是唯一的
    • 负元素是唯一的
    • 0α=0 k0=0 (-1)α=-α
    • 如果kα=0 那么k=0或α=0
    • 数域p上的线性空间V若含有一个非零元素，则V一定含有无穷多个向量
• 维数 基 与坐标
  • 根据线性无关向量个数
    • 线性无关:A可逆 ，|A|不等于0，满秩，R=n，没有非零解，
    • 线性相关:A不可逆，|A|=0 ，不满秩，R小于n，有非零解
  • 基与坐标的关系
    • 在不同基下对应的坐标不同
    • 坐标（也就是系数）是被向量和基唯一确定的
  • 维数和数域有关
    • 1维：复数域看成复数域上的线性空间
    • 2维：复数域看成实数域上的线性空间
• 基变换与坐标变换
  • 过渡矩阵都是可逆矩阵，反之，任一可逆矩阵都可以看成两组基之间的过渡矩阵
  • • 若由基α1α2……αn到基β1β2……βn过渡矩阵A，（β1β2……βn)=(α1α2……αn)A , 则由基β1β2……βn到基α1α2……αn过渡矩阵为A¹ , (α1α2……αn)=(β1β2……βn)A¹
    • （β1β2……βn）=（α1α2……αn)A (γ1γ2……γn)=(β1β2……βn)B 则（γ1γ2……γn）=（α1α2……αn）AB 则（α1α2……αn）=（γ1γ2……γn）B¹A¹
    • 若（α1α2……αn）=（β1β2......βn）A (γ1γ2……γn)=(β1β2......βn)B 则（γ1γ2……γn）=（α1α2……αn）A¹B
• 直和
  • 直和的定义：直和V1+V2中每个向量a的分解式是唯一的
  • 直和的判定：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式a1+a2=0
  • 和的维数=维数的和
• 子空间的交与和
  • 交
    • 如果V1，V2是线性空间V的两个子空间，那么他们的交V1∩V2也是V的子空间
      • 交换律：V1∩V2=V2∩V1
      • 结合律：（V1∩V2）∩V3=V1∩(V2∩V3)
  • 和
    • V1+V2
  • 有关性质
    • 维（V1）+维（V2)=维(V1+V2)+维（V1∩V2）
    • V1+V2的基（α1α2……αn，β1β2……βn）的一个极大线性无关组
    • 维数：=秩
• 线性子空间
  • 定义：数域P上的线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空间
  • 零子空间：在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间
  • 平凡子空间：在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时候叫平凡子空间，而其他叫做非凡子空间
  • 解空间：齐次方程组的全部解向量组成一个子空间，叫做解空间
    • 解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数=n-r
  • 性质
    • 两个向量组生成的相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价
    • L（α1α2……αn）的维数=向量组α1α2……αn的秩
    • 任一有限维线性空间都可由它的一组基生成