线性代数二次型

关于线性代数二次型的思维导图，题型主要有： 配方法化二次型为标准型，规范型 正交变化化二次型为标准型 判断是否为正定矩阵 抽象型二次型的正定 特征值特征向量的题型的拓展，添加了一步求该矩阵的二次型矩阵

二次型

• 定义 及矩阵的表达
  • 前提：实对称矩阵
• 线性变换 x=Cy
  • 子主题
• 合同的概念
  • 合同的三大性质
• 二次型化标准型和规范型
  • 标准型：只有平方项无交叉项
  • 规范型：标准型的条件下，系数：1，-1，0
  • 任何二次型均可以通过配方法化为标准型和规范型；任何二次线也可以通过正交变化化为标准型
• 惯性定理
  • 二次型合同的充要条件是具有相同的正负惯性指数
  • 二次型化为标准型或者规范性不改变其正负惯性指数
• 正定二次型
  • 判断条件
    • 特征值均>0
    • 主子式均大于0
• 题型
  • 配方法化二次型为标准型，规范型
  • 正交变化化二次型为标准型
  • 判断是否为正定矩阵
  • 抽象型二次型的正定
  • 特征值特征向量的题型的拓展，添加了一步求该矩阵的二次型矩阵
• • 一定是特征值
• • 配方法得到的矩阵不一定是特征值
• 重要推论：可逆线性变换不会改变矩阵的秩