高数

高数下，汇总了多元函数微分学及其应用、空间解析几何、重积分、曲线积分、曲面积分、无穷级数的知识。

高数下

• 多元函数微分学及其应用
  • 平面点集
    • 开集
      • 如果平面点集E中任一点都是E的内点，则称E为开集
    • 连通集
    • 开区域
      • 连通的开集称为开区域
  • 偏导数
    • 自变量与自变量之间没有联系 所以对一个自变量求导时另一个自变量的偏导数为零
    • 判断偏导数用定义去判断
  • 全微分
    • 可微分的必要条件 1、可偏导 2、连续
      • 是否为0
        • 等于0，可微
        • 否则，不可微
    • 全增量
    • 全微分记作dz
      • 也称dz是∆z的线性主部
  • 多元链式法则
  • 隐函数求导法
  • 全微分
    • • 点要记得代回偏导数
  • 求梯度、方向导数以及最大方向导数
    • 对二元函数
      • 方向导数定义求梯度
  • 求切线、切平面、法线、法平面方程
    • 关键在于求切向量、法向量
      • 切向量、法平面
        • 根据所给的空间曲线的参数方程， 对x，y，z的参数方程个求一次导， 切向量为
        • 法平面
        • 切线方程
    • 曲面F(x,y,z)在点P处的法向量为
      • 切平面
      • 法线方程
  • 判断二元函数是否存在极值并会求其极值 利用拉格朗日乘数法求解条件极值
    • 自由极值问题
      • 求驻点
      • 计算AC-B²的值
    • 条件极值问题
• 空间解析几何
  • 会求旋转曲面方程、投影方程
    • 旋转曲面方程
      • 绕谁谁不动，缺啥就补啥
    • 投影方程
• 重积分
  • 二重积分
    • 直角坐标
      • 累次积分的次序
        • 需判断先对x积分还是先对y积分
    • 极坐标
    • 物理背景
      • 体积、薄片质量（密度为1时就变成了薄片面积）
  • 三重积分
    • 直角坐标
      • 投影法
      • 截面法
    • 球面坐标
    • 柱坐标
    • 物理背景
      • 占据一定空间立体的物体的质量
• 曲线积分
  • 第一型曲线积分
    • 对弧长曲线积分（L，ds）
    • 物理背景
      • 曲线型构件质量
  • 第二型曲线积分
    • 对坐标曲线积分（D，dxdy）
    • 物理背景
      • 求变力做的功
  • 都是利用曲线参数方程化为定积分
  • 利用Green公式求解
    • Green公式的引入
      • 第二型曲线积分满足怎样的条件 具有与积分路径无关的性质
    • Green公式
      • ，其中L是区域D的正向边界曲线
      • 使用Green公式的条件
        • 区域为闭区域
      • 平面曲线积分与路径无关的条件
      • 全微分方程
        • 通解
          • 偏积分法
• 曲面积分
  • 第一型曲面积分
    • 物理背景
      • 曲面形构件的质量
    • 可求重心坐标
    • 对面积的曲面积分
  • 第二型曲面积分
    • 物理背景
      • 不可压缩流体流向曲面指定侧的流量
    • 利用高斯公式求
      • 外侧：封闭，若不封闭补充辅助曲面
      • 注意应用条件(偏导数需要在 Ω 内连续)
    • 对坐标的曲面积分
• 无穷级数
  • 正项级数敛散性的判别方法
    • 比较判别法
    • 积分判别法
    • 比较判别法的极限形式
      • 若
        • 当0<l<+∞
        • 当l=0
        • 当l=+∞
    • 比值判别法
      • • ρ<1
        • ρ>1
        • ρ=1
          • 无法判断
    • 根式判别法
      • • ρ<1
        • ρ>1
        • ρ=1
          • 无法判断
  • 交错级数
  • 任意项级数的审敛准则
    • 绝对收敛
      • 绝对收敛的级数必定收敛
      • 绝对收敛级数的交换律
      • 绝对收敛级数的分配律
    • 条件收敛
  • 幂级数
    • 常用幂级数的展开
    • 求其和函数
    • 函数的幂级数展开