导图社区 线性代数期末总结
线性代数期末总结的思维导图，汇总了线性方程组、矩阵代数、行列式、二次型、特征值特征向量、向量空间的知识。
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线性代数期末总结
线性方程组、矩阵代数
线性方程组
由m个n元一次线性方程组成的方程组
矩阵
m*n个数字组成的m行n列数字阵列
矩阵算术和初等行变换
初等行变换
数乘
倍加
交换两行位置
矩阵算术
矩阵加减法
（cij）=（aij）±（bij）=（aij±bij）
标量乘法
矩阵中每一个元素都乘对应的标量
矩阵乘法
1.A为m*k阶，B为k*n阶，A*B=C，矩阵C为m*n阶矩阵，且只有A的列数等于B的行数才可以相乘
2.cij=A的第i行每一个数与B的第j列每一个数对应相乘相加
3.不满足乘法交换律
转置
（aij）=（aji），行列对换
A的转置＝A→A为对称矩阵
矩阵的逆
定义
AB=BA=E（p.s. E为单位矩阵，为方阵，主对角线（左上到右下）上数字全为1）
求法
只有方阵才有逆
向量
m=1或者n=1且m，n不同时唯一的矩阵，一般为列向量（m=1）
矩阵用向量表示
行向量：A=（α1 α2 ...... αm）的转置
列向量：A=（α1 α2 ...... αn）
初等矩阵
由单位矩阵E进行一次初等行变换得到的矩阵，记作P
一个矩阵左乘P的就是对A执行对应的初等行变换（右乘即为初等列变换）
例子
，第三行的k倍加到第一行
第三行乘k
第二行第三行互换
对角型，三角形，行最简
三角形
上三角
i>j,aij=0
下三角
i<j,aij=0
对角型
i≠j，aij=0
行最简型
主元：每一行第一个非零元素
使用初等行变换，将每行主元下方的系数均消为0的上三角
分块矩阵
定义：将一个矩阵分割成多个较小的矩阵，即块矩阵。
应用领域：
可以更方便地进行矩阵的计算和运算；
计算：
先把内部的矩阵当普通元素算，然后再算内部的矩阵
行列式
对于每一个n*n型矩阵A，都有一个标量det（A），它的值说明A是否可逆
=0不可逆，反之
简单行列式计算
1阶
1阶就是一个常数，对应常数
2阶
3阶
对角线法则
余子式展开
余子式
Aij
去掉第i行第j列，剩余的按原有次序组成的矩阵的行列式
行列式的性质
det（AT）=det（A）
对于三角形矩阵，det（A）等于主对角线元素乘积减副对角线元素成绩
A有一行/列全为0、A有两行/列完全相等→det（A）=0
A初等行变换后的det（A）
det（PA）=det（p）det（A）
det（P）=
-1，p为交换两行
k，p为数乘某行
1，p为倍加
det（AB）=det（A）det（B）
det（kA）=k^n det（A）
伴随矩阵、克拉默法则
伴随矩阵
定义：用Aij替代aij，然后转置得到的矩阵，记作A*
A^(-1)=A*/det(A)
克拉默法则
对一个n元线性方程组，系数矩阵为A。当det（A）不等于0是存在唯一解xj=det（Dj）/det（A），Dj表示把A中第j列换位b1、b2、……bn得到的矩阵
二次型
定义二次型： n 元二次多项式 f( x1, x2 ,…， xn )=∑aij*xi*xj=XT*A*X称为二次型。 若aij=0(i≠j)，则称为二交型的标准型。 如果标准型的系数为 1、 -1 或 0，则为规范型
二次型的矩阵 A 是实对称矩阵，最重要的性质是可对角化、属于不同特征值的特征向量正交。
二次型标准化
配方法
经过配凑，让f（x1、x2……xn）变为只有平方项的标准型
正交变换法
1.写出二次型对应矩阵
2.通过|λE-A|=0求出特征值
3.通过λ求特征向量并单位化得到正交矩阵P、PT
4.f（X）=XTAX=（PY）TA（PY）=YTPTAPY=YT（PTAP）Y=YT（P*）Y
合同关系
A、 B 为 n 阶矩阵，若有可逆阵Ｃ，使B CTAC ，则 A 与 B 合同。符号：~下加一横
性质：
保秩
保对称
保正定
合同变换：
原理：A—初等行变换—→PTA—相同的初等列变换—→PTAP
注意：PT：初等行变换，P初等列变换
P、PT怎么得
正定二次型
惯性定理：正负惯性值不变
定义：f（X）=XTAX，X≠0，f（X）满足：
1.＞0，正定
2.≥，半正定
＜和≤同理，负定半负定
正定的充要条件
1.A 的所有特征值都是正数，即标准型系数全为正，即正惯性指数为 n
2.A 的所有顺序主子式都大于 0
3. A 与单位阵 E 合同
4.存在可逆 P，使得 A=PPT
5.A 和一个正定矩阵 B 相似；
半正定的充要条件
1.特征值非负
2.正惯性系数=r＜n
3.合同于diag（Er，0）
4.存在矩阵P使得A=PPT
顺序子式：A的k阶顺序主子式
特征值特征向量
定义：对于矩阵Am*n，如果存在复数λ、向量X使得AX=λX→λ是特征值，X是特征向量
对于一个λ，有n个X：X1、X2……Xn，其非0线性组合也是特征向量
λ是特征值，λ^m是A^m的特征值
λ是特征值，对于m次多项式f（x）=∑（kix^i），f（A）的特征值为f（λ）
X0是λ0对应的特征向量，那么X0是齐次方程组λ0E-A=0的非0解
设m次多项式f（x）=∑（kix^i），A为n阶方阵，t为f（A）的一特征值，那么存在λ为A的特征值使t=f（λ）
1.通过|λE-A|=0求出特征值λ
2.λ带入，解方程组（λE-A）X=0的基础解系
相似对角化
相似定义：对于n阶方阵A、B，存在可逆矩阵P使得P^(-1)AP=B，A相似于B
性质
1.反身
2.对称
3.传递
4.A相似于B，A的m次幂也相似于B的m次幂
5.相似矩阵特征多项式|λE-A|、特征值λ相同
6.若A相似于对角阵Δ（对角线为λ1λ2λ3……λn），那么他们为A的特征值
相似对角化：如果A相似于对角阵，那么A可相似对角化
充要条件：A要有n个线性无关的特征向量→对于A的每个ki重特征值λ，必对应ki个线性无关特征向量、Rank（λiE-A）=n-ki
定理：对一个矩阵A，属于不同特征值的特征向量线性无关
推论：对于j重特征值λi，特征向量zi1、zi2……zij线性无关，那么z1j、z2j……zij也线性无关
实对称矩阵的相似对角化
任意实对称矩阵必有n个线性无关的特征向量
有关的一些定义：
内积：设α[a1、a2、a3、……an]^T，β[b1、b2、……bn]^T，内积为（α，β）=Σaibi
乘法交换律
乘法分配律
数乘k可以提出来
乘0等于0
长度||α||＝根号下（α，α）
非负性
正齐性
柯西—许瓦兹不等式：|（α，β）|≤||α||*||β||
三角不等式：||α||+||β||≥||α-β||≥| ||α-||-||β|| |
向量夹角：arccos【（α，β）/||α||*||β||】
定义了内积的n维实向量空间：Rn，n维欧几里得空间。若在其中有一个向量组满足以下条件，称其为Rn的一个规范正交基
1.为正交组（不含0，两两正交）
2.规范正交组（由单位向量构成）
3.满足：（ai，aj）=0（i不等于j）/1（i=j）
正交矩阵：QT=Q^(-1)
||X||=||QX||，正交变换后向量长度不变
任意实对称矩阵A，存在正交矩阵Q使得QTAQ=Q^(-1)AQ=diag(λ1、λ2……λn) —— p.s. diag指对角阵
A正交化的一般步骤
1.求特征值λ
2.求出（λE-A）X=0的基础解系并化成正交规范组
3.以一共n个特征向量作为列向量构成矩阵Q
施密特正交化
γ：正交规范组
向量空间
向量的定义、运算
向量、计算
加法交换律
加法结合律
加0不变
加逆向量等于0
1α=α
数乘结合
数乘分配（不论是数相加还是向量相加都可以分配）
全体n维列向量的集合：Rn
加法交换、结合
x+0=x
x-x=0
数乘满足分配率
数乘结合律
1*x=x
线性相关、线性无关
，αi为向量，x为未知量
线性相关：有非0解
线性无关：只有0解
解的判断
写出{α1，α2，α3……αn}，初等行变换
系数矩阵不可逆，则有非0解
判断
① r(α1， α2， …， αp)<p，线性相关； r(α1， α2， …， αp)=p，线性无关。
②若 p=n，即 n 个 n 维向量，可用行列式判别： n 阶行列式|α1 α2 … αn|＝0，线性相关（≠0 无关）
③整体无关，部分无关；部分相关，整体相关；
④含零向量的向量组必定相关。
极大无关组、秩
如果向量组A（共有p个）中的某个元素都可以用向量组B（共有t个）线性表出→A可由B线性表出
A可由B线性表出，p>t时，A线性相关；A线性无关时，p≤t
A、B线性无关且等价时，p=t
设A1为A的一个部分组
A1线性无关
A可由A1线性表出
极大无关组中向量个数→向量组的秩
rank，也写作r
r=p→线性无关
A可由B线性表出→rankA≤rankB
A等价于B→rankA=rankB
设 A＝(a1， a2 ， …， ap )，将 A 化为行最简形 C，则 C 的秩即为向量组 A 的秩， C 的主元列所在位置相对应的 A 的原始列就构成了极大无关组
子空间
s是v的子空间
s是v的非空子集
乘一个标量后仍∈v
x∈s，y∈s，x+y∈s
0∈v
α1，α2……αn都属于Rn，则有他们所有的线性组合构成的集合span{α1，α2……αn}是Rn的子空间
三个重要子空间
列空间ColA
A的列向量张成集，也叫值域空间
行空间RowA
A的行向量张成集
解空间NulA
AX=0的解向量张成集
基和维数
定义：满足条件时，α1，α2……αn是A的一组基，维数为n
1.α1，α2……αn线性无关
2.span（α1，α2……αn）＝A
{α1，α2……αn}是A的一组张集，那么A中任意m>n个向量组成的向量组必线性相关
A中，span（任意n个线性无关向量）=A
任何张成A的向量组线性无关
少于n个向量无法张成A
少于n个线性无关向量构成的子集可以扩展为A的一组基
多于n个向量的张成集可以删除其中向量得到A
基变换
坐标、坐标变化
坐标：任何A中的向量可以表示为x1α1+x2α2+……+xnαn，坐标即为（x1,x2……，xn）T
坐标变换
核心：转移矩阵
X=AY,Y=A^(-1)X
求法：解矩阵方程A=XY^(-1)
矩阵的秩
秩
非0子式最高阶数 or 行最简式非零行数
行秩
列秩
线性方程组有解条件、解的结构
基础解系：解空间NulA的一组基
每个向量都是AX=0的解
线性无关
任意解可由此线性表出
齐次
AX=0有非0解的充要条件：r＜n
非齐次
A为系数矩阵，B为增广矩阵
rankA=rankB
ra=rb=n时，有唯一解
小于n时，无穷对解。通解为w=p+v，p为AX=B的一组特解，v为AX=0的全部解
Rn到Rm的线性映射
映射：Rn的每个向量x都于Rm中的向量T（x）对应
Rn：定义域
Rm：陪域
T（x）：像
像的集合：值域
线性映射
1.T（u+v）=T（u）+T（v）
2.T（cu）=cT（u），c为常数
T（0）=0
T（-u）=-T（u）
T（cu+dv）=cT（u）+dT（v），c、d为常数
若向量组线性相关，映射后也线性相关
线性映射实质：Y=AX
A1是A的一个极大无关组
一般为列向量
