高等数学 函数极限

高等数学 函数极限，分享了函数极限的概念、性质、存在准则、运算法则、两个极端状态，希望这份脑图会对你有所帮助。

函数极限

• 概念
  • 自变量趋于无穷
    • 内容
    • 注意点
      • 对于数列极限,n 趋于∞就是n趋于+∞； 对于函数极限，x趋于∞,就是x的绝对值趋于+∞
  • 自变量趋于有限值
    • 内容
    • 注意点
      • ε的作用
        • ε刻画了f(x)与A的接近程度
        • 任意性保证f(x)与A可以无限接近
      • δ的作用
        • δ刻画了x与x0的接近程度
      • 几何意义
        • 以y=A 为中心 作两条水平线 y=A+ε，y=A-ε，不管这两条水平线之间的距离有多短，总能找到一个x0的δ去心邻域，在这个邻域内对应曲线上的点都落在两条水平线之间
      • x趋于x0，x不等于x0，因此在x0处的极限与与x0在该点是否有定义无关，与该点的函数值无关；f(x)可以等于A
      • 常见分左右极限
        • 分段函数分界点
        • arctan∞
• 性质
  • 唯一性
  • 局部有界性
    • 内容
    • 注意点
      • 局部有界推不出有极限，如sin(1/x) ,当x→0时局部有界，但是极限不存在
  • 局部保号性
    • 内容
    • 注意点
      • 等号
  • 极限与无穷小的关系
• 存在准则
  • 夹逼准则
• 运算法则
• 两个极端状态
  • 无穷小
    • 概念
    • 性质
      • 有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小
      • 无穷小与有界函数的乘积是无穷小
    • 比较
    • 注意点
      • 与0的关系
        • 0是无穷小,无穷小不一定是0
  • 无穷大
    • 概念
    • 性质
      • 无穷大的乘积是无穷大
      • 有界量与无穷大的和是无穷大
    • 比较
      • 函数
      • 数列
    • 注意点
      • 与无界的关系
        • 无穷大量一定是无界变量
        • 无界变量不一定是无穷大量
      • 与无穷小的关系
        • 互为倒数(分母不取0)