导图社区 一元函数微分学
一元函数微分学的思维导图，分享了导数、微分、不等式证明、导数与微分的计算、中值定理、零点问题、导数的应用的知识。
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一元函数微分学
导数
导数的定义
在某一点可导的充分必要条件
判断分段函数在分段点是否可导
讨论分段函数在某一点的可导性和连续性
证明函数是否可导（注意绝对值符号，左右极限是否相同）
导数定义求极限、求导数
给出函数在某一点可导，给出该点的函数值或者导数值，求极限（一般用导数定义解）
不直接给出可导的信息，只说明函数和另一个函数在某一点处有公共切线，利用这个条件可以得到导数值和可导点，求得极限
函数在某一点可导，说明在该点一点连续，则函数在该点的极限值等于函数值，一般为解题的关键
导数的几何意义
曲线函数在某点的切线的斜率
函数在某点处可导，那么函数曲线在该点处有切线 但是，曲线函数在某点有切线，函数在这一点不一定可导！！！
给出两个已知曲线函数，他们相切，其中一个含有参数a，求解a的值
给出一个已知曲线函数，求解在某点处的切线方程和法线方程
给出一个未知函数，和它的一个极限满足条件，求他在某点处的斜率
微分
定义
可微和可导的关系
dy和△x无穷小量阶数比较
几何意义
dy表示函数的切线纵坐标增量，△y表示函数值的纵坐标增量，△y≥dy
一般为抽象函数，从单调性和凹凸性去判断两个增量间的大小
连续，可导，可微之间关系
可导一定连续，连续不一定可导，不连续一定不可导
可导一定可微，可微一定可导
不等式证明
单调性
最值
拉格朗日中值公式
泰勒公式（拉格朗日余项）
导数与微分的计算
导数计算
16个基本初等函数的导数公式
牢记！！！
导数四则运算法则
加减乘除！
复合函数求导法则
链式求导法则
复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数
反函数求导法则
导函数互为相反数
隐函数求导法
F(x,y)=0，方程两边同时对x求导，牢记y是x的函数，得到含有dy/dx的式子，解出即可
对数求导法
两边同时去对数，化为隐函数，在进行求导
用于 幂指函数求导，多个函数的乘除的开方求导
参数方程求导法
x和y分别对参数进行求导，再求dy/dx
分段函数求导
区间内常规求导，分段点定义求导
导数的重要结论
可导偶函数的导数是奇函数
可导奇函数的导数是偶函数
可导周期函数的导数是周期函数，周期不变
高阶函数的计算
先求出一二三阶导数，再求出函数的n阶导数（找规律！）
注意利用导数公式，运算法则，函数恒等变形，变量替换
微分计算
正常求导，在求导结果后乘以dx
中值定理
费马定理
函数在某邻域内有定义，在某点有极值，且在该点处可导，则该点的导数值为零
罗尔定理
函数闭区间连续，开区间可导，区间两端函数值相等，那么在区间内至少存在一点，使得该点处的导数值为零(这一点实际上就是函数的极值点)
拉格朗日中值定理
函数闭区间连续，开区间可导，区间两端函数值相等，那么在区间内至少存在一点e，使得f(b)-f(a)=f'(e)(b-a)
柯西中值定理
f,g函数在闭区间连续，开区间可导，g的导函数不为零，那么在区间内至少存在一点e，使得f(b)-f(a) / g(b)-g(a)=f'(e) / g'(e)
泰勒定理
零点问题
介值定理
零点定理
导函数零点的存在性
讨论至多零点个数
导数的应用
函数的单调性
一阶导大于零 单调增 一阶导小于零 单调减
函数的极值
极值的必要条件
极值点，是函数在某点的导数值为零的点
第一充分条件
第二充分条件
函数的最值
连续函数闭区间上的最值
曲线的凹凸性
凹凸性判定
二阶可导大于零 凹 二阶可导小于零 凸
拐点
连续曲线弧上的凹与凸分界点
必要条件
曲线的渐近线
水平渐近线
铅直渐近线
斜渐近线
曲线的弧微分与曲率
弧微分
曲率
相关变化率
函数的作图
