向量

向量的思维导图，汇总了线性表示、线性相关、线性无关、向量组的秩的知识，希望这份脑图会对你有所帮助。

向量

• 线性表示
  • 定义
    • 若β能表示成a1,a2,...am的线性组合，即则称β能由a1,a2,...am线性表出
  • 充要条件
    • 非零向量β可由向量组a1,a2,...am线性表示 ⇔非齐次线性方程组有解 ⇔系数矩阵秩 r（A）=增广矩阵秩 r（[A,b]）
  • 充分条件
    • 向量组a1,a2,...am线性无关，而向量组a1,a2,...am,β线性相关，则β可由a1,a2,...am线性表示，且表示法唯一
• 线性相关
  • 定义
    • 对m个n维向量a1,a2,...am，若存在不全为零的数使得k₁a1+k₂a2+...kmam=0，则称向量组a1,a2,...am线性相关
  • 理解1
    • 一个向量线性相关⇔零向量；两个向量线性相关⇔成比例
  • 理解2
    • 两个向量线性相关的几何意义是两个向量共线，三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面
  • 充要条件
    • 向量组a1,a2,...am线性相关 ⇔至少有一个向量可由其余向量线性表示 ⇔齐次线性方程组有非零解 ⇔r(a1,a2,...am)＜列数m
    • 推论1：n个n维向量a1,a2,...an线性相关⇔|a1,a2,...an|=0 推论2：n个线性无关的n维向量可表示任何一个n维向量
  • 充分条件
    • （1） 含有零向量的向量组线性相关
    • （2） 部分相关，则整体相关
    • （3） 高维相关，则低维相关
      • 维数指元素个数
    • （4） 若向量组a₁,a₂,...aₛ可由向量组β₁，β₂，...βₜ线性表示，且s＞t，则向量组a₁,a₂,...aₛ线性相关 即以少表多，则多必相关 若向量组a₁,a₂,...aₛ线性无关，可由向量组β₁，β₂，...βₜ线性表示，则s≤t. 即无关被表，则个数不多 推论：任何n+1个n维向量必线性相关
• 线性无关
  • 充要条件
    • 向量组a1,a2,...am线性无关 ⇔任意向量均不能由其余向量线性表示 ⇔齐次线性方程组只有零解 ⇔r(a1,a2,...am)=列数m
    • n个n维向量a1,a2,...an线性无关⇔|a1,a2,...an|≠0
  • 充分条件
    • （1） 整体无关，则部分无关
    • （2） 低维无关，则高维无关
    • （3） 不含零向量的正交向量组线性无关
    • （4） 不同特征值的特征向量线性无关
• 向量组的秩
  • 向量组等价
    • 向量组(Ⅰ)和向量组(Ⅱ)可以相互线性表示
  • 极大线性无关组
    • 先挑出来线性无关的， 其余的均可由其线性表示 再添就会线性相关的一组向量
  • 定义
    • 极大线性无关组中向量的个数
  • r(a1,a2,...am)=r ⇔ a1,a2,...am向量组中存在r个向量线性无关，而任意r+1个向量必线性相关
  • 定理
    • 如果向量组（Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出，则r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)
  • 推论
    • 如果向量组（Ⅰ)和向量组(Ⅱ)等价，则r(Ⅰ)=r(Ⅱ)